উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'A ও C স্বাধীন' এর স্থলে 'A ও B স্বাধীন' বিবেচনা করা হয়েছে।

   প্রশ্নে টাইপো রয়েছে: "A ও C স্বাধীন" এর স্থলে "A ও B স্বাধীন" হবে।

   $A$ ও $B$ স্বাধীন ঘটনা হলে,
   $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
   $= \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

   আমরা জানি,
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
   $= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
   $= \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

   উত্তর: $\frac{5}{6}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'A ও C স্বাধীন' এর স্থলে 'A ও B স্বাধীন' বিবেচনা করা হয়েছে।

   ধাপ-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি:

   এখানে শ্রেণিব্যবধান, $h = 10$
   ধরি, আনুমানিক গড়, $a = 75.5$
   বিচ্যুতি, $u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 75.5}{10}$

   শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যমান ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$u_i$	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
   51-60	55.5	7	-2	-14	28
   61-70	65.5	18	-1	-18	18
   71-80	75.5	15	0	0	0
   81-90	85.5	10	1	10	10
   91-100	95.5	5	2	10	20
   মোট		$N = 55$		$\sum f_i u_i = -12$	$\sum f_i u_i^2 = 76$

   পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) এর সূত্র:
   $\sigma = h \times \sqrt{\frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{\frac{76}{55} - \left(\frac{-12}{55}\right)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{1.3818 - (-0.2182)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{1.3818 - 0.0476}$
   $= 10 \times \sqrt{1.3342}$
   $= 10 \times 1.1551 = 11.55$ (প্রায়)

   উত্তর: পরিমিত ব্যবধান প্রায় $11.55$

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে 'A ও C স্বাধীন' এর স্থলে 'A ও B স্বাধীন' বিবেচনা করা হয়েছে।

   ব্যাগে মোট বলের সংখ্যা $= 9 + 7 = 16$ টি (লাল 9টি এবং সাদা 7টি)।
   মোট 16টি বল হতে নিরপেক্ষভাবে 6টি বল তোলার মোট সম্ভাব্য উপায়:
   $n(S) = \binom{16}{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008$

   তোলা 6টি বলের মধ্যে 3টি লাল এবং 3টি সাদা হওয়ার অনুকূল উপায়:
   9টি লাল বল থেকে 3টি লাল বল বাছাই করার উপায় $= \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$
   7টি সাদা বল থেকে 3টি সাদা বল বাছাই করার উপায় $= \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

   অনুকূল ঘটনার সংখ্যা, $n(E) = \binom{9}{3} \times \binom{7}{3} = 84 \times 35 = 2940$

   নির্ণেয় সম্ভাবনা, $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2940}{8008} = \frac{735}{2002} = \frac{105}{286} \approx 0.367$

   উত্তর: $\frac{105}{286}$ বা প্রায় $0.367$