উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $4x - 3y + 2 = 0$ ... (i)
   $8x - 6y - 9 = 0$
   বা, $4x - 3y - \frac{9}{2} = 0$ ... (ii)

   আমরা জানি, $ax + by + c_1 = 0$ এবং $ax + by + c_2 = 0$ সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $d = \frac{\left|2 - \left(-\frac{9}{2}\right)\right|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{\left|2 + \frac{9}{2}\right|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{\frac{13}{2}}{5} = \frac{13}{10}$ একক বা $1.3$ একক। (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 1)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, 2)$।
   যেহেতু $P$ বিন্দুটি $AB$ এর মধ্যবিন্দু,
   $P$ এর স্থানাঙ্ক = $\left(\frac{2 + 5}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$

   $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{2 - 1}{5 - 2} = \frac{1}{3}$
   চিত্রানুযায়ী, $CD$ রেখা $AB$ রেখার ওপর লম্ব এবং $P$ বিন্দুগামী।
   সুতরাং, $CD$ রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{1}{3}} = -3$

   অতএব, $\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ বিন্দুগামী এবং $-3$ ঢালবিশিষ্ট $CD$ রেখার সমীকরণ:
   $y - \frac{3}{2} = -3\left(x - \frac{7}{2}\right)$
   $\implies \frac{2y - 3}{2} = -3\left(\frac{2x - 7}{2}\right)$
   $\implies 2y - 3 = -6x + 21$
   $\implies 6x + 2y - 24 = 0$
   $\implies 3x + y - 12 = 0$

   নির্ণেয় $CD$ রেখার সমীকরণ: $3x + y - 12 = 0$। (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $A(2, 1)$ এবং $E(0, 3)$।
   $AE$ রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 1}{1 - 3} = \frac{x - 2}{2 - 0}$
   $\implies \frac{y - 1}{-2} = \frac{x - 2}{2}$
   $\implies y - 1 = -(x - 2)$
   $\implies x + y - 3 = 0$ ... (i)

   'খ' হতে প্রাপ্ত $CD$ রেখার সমীকরণ:
   $3x + y - 12 = 0$ ... (ii)

   (i) ও (ii) নং সমীকরণদ্বয়ের ক্ষেত্রে,
   $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -3$
   $a_2 = 3, b_2 = 1, c_2 = -12$
   এখানে, ধ্রুবকপদদ্বয় $(-3)$ এবং $(-12)$ উভয়েই একই চিহ্নযুক্ত (ঋণাত্মক)।
   এখন, $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (1)(3) + (1)(1) = 3 + 1 = 4 > 0$

   যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 > 0$, সুতরাং ধনাত্মক $(+)$ চিহ্ন নিয়ে গঠিত সমদ্বিখণ্ডকটি হবে অন্তর্গত স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক।

   অতএব, স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $\frac{x + y - 3}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = +\frac{3x + y - 12}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$
   $\implies \frac{x + y - 3}{\sqrt{2}} = \frac{3x + y - 12}{\sqrt{10}}$
   $\implies \sqrt{5}(x + y - 3) = 3x + y - 12$
   $\implies \sqrt{5}x + \sqrt{5}y - 3\sqrt{5} - 3x - y + 12 = 0$
   $\implies (\sqrt{5} - 3)x + (\sqrt{5} - 1)y + (12 - 3\sqrt{5}) = 0$

   নির্ণেয় স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ: $(\sqrt{5} - 3)x + (\sqrt{5} - 1)y + 12 - 3\sqrt{5} = 0$। (Ans.)