উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপক-১: 2mx2+nx+1=02 m x^{2}+n x+1=0 এবং nx2+2mx+1=0n x^{2}+2 m x+1=0
উদ্দীপক-২: x3+px2+qx+r=0\mathrm{x}^{3}+\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0
- ক)(2)
x3+(p2−3)x−(p+2)=0x^{3}+\left(p^{2}-3\right) x-(p+2)=0 সমীকরণের একটি মূল −1+iP-1+\mathrm{iP} হলে সমীকরণটি সমাধান কর।
- খ)(4)
উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুইটির একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, 2m+n+1=02 m+n+1=0
- গ)(4)
উদ্দীপক-২ এর সমীকরণটির মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে Σ(α−β)2\Sigma(\alpha-\beta)^{2} এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: x³ + (p² - 3)x - (p + 2) = 0
এখানে x² এর সহগ = 0।
যেহেতু সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা, তাই একটি জটিল মূল (-1 + iP) হলে অপর একটি জটিল মূল এর অনুবন্ধী, অর্থাৎ (-1 - iP) হবে।
ধরি, তৃতীয় মূলটি γ।
মূলত্রয়ের যোগফল:
(-1 + iP) + (-1 - iP) + γ = 0
⇒ -2 + γ = 0
⇒ γ = 2যেহেতু x = 2 সমীকরণটির একটি মূল, তাই x = 2 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
2³ + (p² - 3)(2) - (p + 2) = 0
⇒ 8 + 2p² - 6 - p - 2 = 0
⇒ 2p² - p = 0
⇒ p(2p - 1) = 0
যদি p = 0 হয়, তবে মূলগুলো বাস্তব হয়ে যায় (-1 ± 0 = -1), যা জটিল থাকে না। সুতরাং p ≠ 0।
অতএব, 2p - 1 = 0 ⇒ p = 1/2।p = 1/2 হলে অপর জটিল মূল দুটি:
-1 ± i(1/2) = -1 ± i/2।অতএব, সমীকরণটির মূল তিনটি হলো: 2, -1 + i/2, -1 - i/2।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুটি:
2mx² + nx + 1 = 0 ... (i)
nx² + 2mx + 1 = 0 ... (ii)ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি হলো α।
তাহলে,
2mα² + nα + 1 = 0 ... (iii)
nα² + 2mα + 1 = 0 ... (iv)বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
α² / (n - 2m) = α / (n - 2m) = 1 / (4m² - n²)প্রথম দুটি অনুপাত থেকে:
α² / (n - 2m) = α / (n - 2m)
যেহেতু একটিমাত্র সাধারণ মূল বিদ্যমান এবং সমীকরণ দুটি অভিন্ন নয়, তাই 2m ≠ n, অর্থাৎ (n - 2m) ≠ 0।
অতএব, α = 1।দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে অথবা α = 1 মানটি (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
2m(1)² + n(1) + 1 = 0
⇒ 2m + n + 1 = 0
(প্রমাণিত) - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ:
x³ + px² + qx + r = 0
যার মূলত্রয় α, β, γ।মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে:
α + β + γ = -p
αβ + βγ + γα = q
αβγ = -rএখন,
Σ(α - β)² = (α - β)² + (β - γ)² + (γ - α)²
= (α² - 2αβ + β²) + (β² - 2βγ + γ²) + (γ² - 2γα + α²)
= 2(α² + β² + γ²) - 2(αβ + βγ + γα)
= 2[(α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)] - 2(αβ + βγ + γα)
= 2(α + β + γ)² - 4(αβ + βγ + γα) - 2(αβ + βγ + γα)
= 2(α + β + γ)² - 6(αβ + βγ + γα)মান বসিয়ে পাই:
= 2(-p)² - 6(q)
= 2p² - 6qঅতএব, নির্ণেয় মান = 2p² - 6q।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও