উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটি হলো:
   $z = \frac{1}{-2i} = \frac{i}{-2i^2} = \frac{i}{-2(-1)} = \frac{i}{2} = 0 + \frac{1}{2}i$

   এখানে, বাস্তব অংশ $x = 0$ এবং কাল্পনিক অংশ $y = \frac{1}{2} > 0$।
   অতএব, সংখ্যাটি ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষে অবস্থিত।
   সুতরাং, এর মুখ্য আর্গুমেন্ট, $\theta = \operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{2}$ (বা $90^\circ$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P = a + ib$ যেখানে $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
   $\therefore P = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega^2$ (এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল)।
   আমরা জানি, $\omega^3 = 1$ এবং $1 + \omega + \omega^2 = 0$।

   এখন প্রদত্ত রাশির প্রতিটি পদ নির্ণয় করি:
   $P = \omega^2$
   $P^2 = \omega^4 = \omega$
   $P^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1$
   $P^4 = \omega^8 = \omega^2$
   $P^5 = \omega^{10} = \omega$
   $P^6 = \omega^{12} = 1$

   প্রদত্ত রাশি,
   $E = 4P^6 + 25P^5 + 20P^4 + P^3 + 5P + 20$
   $= 4(1) + 25(\omega) + 20(\omega^2) + 1 + 5(\omega^2) + 20$
   $= 4 + 25\omega + 20\omega^2 + 1 + 5\omega^2 + 20$
   $= 25 + 25\omega + 25\omega^2$
   $= 25(1 + \omega + \omega^2)$
   $= 25 \times 0 = 0$

   $\therefore$ নির্ণেয় মান $0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P = a + ib$ যেখানে $a = 4096, b = 0$।
   $\therefore P = 4096$
   আমাদের $\sqrt[6]{-P} = (-4096)^{\frac{1}{6}}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

   ধরি, $x = \sqrt[6]{-4096}$
   $\Rightarrow x^6 = -4096 = 4096(-1) = 2^{12}(\cos\pi + i\sin\pi)$
   সাধারণ আকারে,
   $x^6 = 2^{12} [\cos(2k\pi + \pi) + i\sin(2k\pi + \pi)]$, যেখানে $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$
   ডি মইভরের উপপাদ্য প্রয়োগ করে,
   $x = (2^{12})^{\frac{1}{6}} \left[\cos\frac{(2k+1)\pi}{6} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{6}\right] = 4 \left[\cos\frac{(2k+1)\pi}{6} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{6}\right]$

   বিকল্পভাবে,
   $x^6 + 4096 = 0$
   $\Rightarrow (x^2)^3 + 4^3 = 0$
   $\Rightarrow (x^2 + 4)(x^4 - 4x^2 + 16) = 0$

   ১) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i$

   ২) $x^4 - 4x^2 + 16 = 0$
   $\Rightarrow (x^2 + 4)^2 - 12x^2 = 0$
   $\Rightarrow (x^2 + 4)^2 - (2\sqrt{3}x)^2 = 0$
   $\Rightarrow (x^2 + 2\sqrt{3}x + 4)(x^2 - 2\sqrt{3}x + 4) = 0$

   $x^2 + 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ হতে,
   $x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 16}}{2} = -\sqrt{3} \pm i$

   $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ হতে,
   $x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 16}}{2} = \sqrt{3} \pm i$

   অতএব, নির্ণেয় মানসমূহ হলো: $\pm 2i, \pm \sqrt{3} \pm i$।