উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    একটি নৌকা 4kmh−14\text{kmh}^{-1} বেগে চলে 3kmh−13\text{kmh}^{-1} বেগে প্রবাহিত 250 m চওড়া একটি নদী পাড়ি দিতে চায়। সে ন্যূনতম পথে পাড়ি দিতে কত সময় নিবে?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে পাল্লা R হলে দেখাও যে, R=d12+d1d2+d22d1+d2R = \frac{d_1^2 + d_1d_2 + d_2^2}{d_1 + d_2}.

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে একটি বেলুন uu আদিবেগ নিয়ে A বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে সর্বোচ্চ B উচ্চতায় উঠতে পারে। B বিন্দুতে বেলুনটি ফেটে গেলে A ও C স্থানে শব্দ শোনার সময়ের পার্থক্য 1n\frac{1}{n} সেকেন্ড। প্রমাণ কর যে শব্দের বেগ = n(x2+y2−y)n (\sqrt{x^2 + y^2} - y) মি./সে.।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    নৌকার বেগ, u=4 km/h=4×10003600 m/s=109 m/su = 4\text{ km/h} = 4 \times \frac{1000}{3600}\text{ m/s} = \frac{10}{9}\text{ m/s}
    স্রোতের বেগ, v=3 km/h=3×10003600 m/s=56 m/sv = 3\text{ km/h} = 3 \times \frac{1000}{3600}\text{ m/s} = \frac{5}{6}\text{ m/s}
    নদীর প্রস্থ, d=250 m=0.25 kmd = 250\text{ m} = 0.25\text{ km}

    নদী ন্যূনতম পথে (সোজাসোজি বিপরীত বিন্দুতে) পাড়ি দিতে হলে নৌকার লব্ধি বেগ নদীর পারের সাথে লম্ব বরাবর হতে হবে।
    অতএব, লব্ধি বেগ, w=u2−v2w = \sqrt{u^2 - v^2}
    ⇒w=42−32=16−9=7 km/h\Rightarrow w = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\text{ km/h}

    ন্যূনতম পথে নদী পাড়ি দিতে প্রয়োজনীয় সময়,
    t=dw=0.257 ঘণ্টাt = \frac{d}{w} = \frac{0.25}{\sqrt{7}}\text{ ঘণ্টা}
    ⇒t=0.257×3600 সেকেন্ড≈340.17 সেকেন্ড≈5.67 মিনিট\Rightarrow t = \frac{0.25}{\sqrt{7}} \times 3600\text{ সেকেন্ড} \approx 340.17\text{ সেকেন্ড} \approx 5.67\text{ মিনিট}।

    উত্তর: 340.17340.17 সেকেন্ড (বা 55 মিনিট 40.1740.17 সেকেন্ড)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ হতে,
    একটি প্রাসের গতিপথের জন্য আনুভূমিক পাল্লা RR।
    প্রাসের গতিপথের সমীকরণ আমরা জানি,
    y=xtan⁡α(1−xR)y = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)

    চিত্র অনুসারে,
    যখন অনুভূমিক দূরত্ব x=d1x = d_1, তখন উলম্ব উচ্চতা y=d2y = d_2।
    সুতরাং,
    d2=d1tan⁡α(1−d1R)d_2 = d_1 \tan\alpha \left(1 - \frac{d_1}{R}\right)
    ⇒d2d1=tan⁡α(R−d1R)…(1)\Rightarrow \frac{d_2}{d_1} = \tan\alpha \left(\frac{R - d_1}{R}\right) \quad \dots (1)

    আবার, যখন অনুভূমিক দূরত্ব x=d2x = d_2, তখন উলম্ব উচ্চতা y=d1y = d_1।
    সুতরাং,
    d1=d2tan⁡α(1−d2R)d_1 = d_2 \tan\alpha \left(1 - \frac{d_2}{R}\right)
    ⇒d1d2=tan⁡α(R−d2R)…(2)\Rightarrow \frac{d_1}{d_2} = \tan\alpha \left(\frac{R - d_2}{R}\right) \quad \dots (2)

    সমীকরণ (১) কে সমীকরণ (২) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    d2/d1d1/d2=R−d1RR−d2R\frac{d_2 / d_1}{d_1 / d_2} = \frac{\frac{R - d_1}{R}}{\frac{R - d_2}{R}}
    ⇒d22d12=R−d1R−d2\Rightarrow \frac{d_2^2}{d_1^2} = \frac{R - d_1}{R - d_2}
    ⇒d22(R−d2)=d12(R−d1)\Rightarrow d_2^2(R - d_2) = d_1^2(R - d_1)
    ⇒Rd22−d23=Rd12−d13\Rightarrow R d_2^2 - d_2^3 = R d_1^2 - d_1^3
    ⇒Rd12−Rd22=d13−d23\Rightarrow R d_1^2 - R d_2^2 = d_1^3 - d_2^3
    ⇒R(d12−d22)=(d1−d2)(d12+d1d2+d22)\Rightarrow R (d_1^2 - d_2^2) = (d_1 - d_2)(d_1^2 + d_1 d_2 + d_2^2)
    ⇒R(d1−d2)(d1+d2)=(d1−d2)(d12+d1d2+d22)\Rightarrow R (d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = (d_1 - d_2)(d_1^2 + d_1 d_2 + d_2^2)

    যেহেতু d1≠d2d_1 \neq d_2, তাই উভয় পক্ষকে (d1−d2)(d_1 - d_2) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    R(d1+d2)=d12+d1d2+d22R(d_1 + d_2) = d_1^2 + d_1 d_2 + d_2^2
    ∴R=d12+d1d2+d22d1+d2\therefore R = \frac{d_1^2 + d_1 d_2 + d_2^2}{d_1 + d_2} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
    বেলুনটি AA বিন্দু থেকে u=2gyu = \sqrt{2gy} আদিবেগে খাড়া উপরের দিকে উঠে সর্বোচ্চ BB বিন্দুতে পৌঁছায়।
    সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেলুনের বেগ শূন্য হয়।
    আমরা জানি, সর্বোচ্চ উচ্চতা h=u22gh = \frac{u^2}{2g}
    ⇒AB=(2gy)22g=2gy2g=y\Rightarrow AB = \frac{(\sqrt{2gy})^2}{2g} = \frac{2gy}{2g} = y

    চিত্রানুসারে, সমকোণী ত্রিভুজ △BAC\triangle BAC-এ AC=xAC = x এবং AB=yAB = y।
    সুতরাং, BB ও CC এর মধ্যকার সরলরৈখিক দূরত্ব,
    BC=AB2+AC2=y2+x2=x2+y2BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{y^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + y^2}

    ধরি, শব্দের বেগ vv মি./সে.।
    BB বিন্দুতে বেলুনটি ফেটে গেলে উৎপন্ন শব্দ AA এবং CC বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় যথাক্রমে tAt_A ও tCt_C হলে,
    tA=ABv=yvt_A = \frac{AB}{v} = \frac{y}{v}
    tC=BCv=x2+y2vt_C = \frac{BC}{v} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v}

    যেহেতু BC>ABBC > AB, তাই tC>tAt_C > t_A।
    প্রশ্নমতে, AA ও CC স্থানে শব্দ শোনার সময়ের পার্থক্য 1n\frac{1}{n} সেকেন্ড।
    ∴tC−tA=1n\therefore t_C - t_A = \frac{1}{n}
    ⇒x2+y2v−yv=1n\Rightarrow \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v} - \frac{y}{v} = \frac{1}{n}
    ⇒x2+y2−yv=1n\Rightarrow \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - y}{v} = \frac{1}{n}
    ⇒v=n(x2+y2−y)\Rightarrow v = n(\sqrt{x^2 + y^2} - y)

    ∴\therefore শব্দের বেগ =n(x2+y2−y)= n(\sqrt{x^2 + y^2} - y) মি./সে.। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন