উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ত্রিভুজের তৃতীয় কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x_3, y_3)$।
   দেওয়া আছে, অপর দুটি বিন্দু $(x_1, y_1) = (3, 4)$ এবং $(x_2, y_2) = (5, 2)$।
   ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(G_x, G_y) = (1, 4)$।

   আমরা জানি, ভরকেন্দ্রের ভুজ:
   $G_x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
   $\Rightarrow 1 = \frac{3 + 5 + x_3}{3}$
   $\Rightarrow 3 = 8 + x_3$
   $\Rightarrow x_3 = 3 - 8 = -5$

   ভরকেন্দ্রের কোটি:
   $G_y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
   $\Rightarrow 4 = \frac{4 + 2 + y_3}{3}$
   $\Rightarrow 12 = 6 + y_3$
   $\Rightarrow y_3 = 12 - 6 = 6$

   অতএব, তৃতীয় কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-5, 6)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, বিন্দুগুলো হলো $A(1, 0)$, $B(0, 4)$ এবং $C(-2, -1)$।

   $A(1, 0)$ ও $B(0, 4)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{1} + \frac{y}{4} = 1$
   $\Rightarrow 4x + y - 4 = 0$ ...(i)

   $AB$ রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ:
   $x - 4y + k = 0$ ...(ii)

   যেহেতু রেখাটি $C(-2, -1)$ বিন্দুগামী, সুতরাং:
   $-2 - 4(-1) + k = 0$
   $\Rightarrow -2 + 4 + k = 0$
   $\Rightarrow k = -2$

   অতএব, $C$ হতে $AB$-এর উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ:
   $x - 4y - 2 = 0$ ...(iii)

   লম্বের পাদবিন্দুটি হলো (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দু।
   (iii) নং হতে পাই, $x = 4y + 2$। এটি (i) নং-এ বসিয়ে পাই:
   $4(4y + 2) + y - 4 = 0$
   $\Rightarrow 16y + 8 + y - 4 = 0$
   $\Rightarrow 17y + 4 = 0$
   $\Rightarrow y = -\frac{4}{17}$

   এখন, $x = 4\left(-\frac{4}{17}\right) + 2 = -\frac{16}{17} + 2 = \frac{18}{17}$

   অতএব, নির্ণেয় পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{18}{17}, -\frac{4}{17}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র হতে, $A(1, 0)$ ও $B(0, 4)$ বিন্দুগামী $AB$ রেখার ঢাল,
   $m_1 = \frac{4 - 0}{0 - 1} = -4$

   ধরি, $(1, -1)$ বিন্দুগামী এবং $AB$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্নকারী রেখার ঢাল $m$।

   প্রশ্নমতে,
   $\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - (-4)}{1 + m(-4)}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m + 4}{1 - 4m}$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $1 - 4m = m + 4$
   $\Rightarrow -5m = 3$
   $\Rightarrow m = -\frac{3}{5}$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $1 - 4m = -(m + 4) = -m - 4$
   $\Rightarrow -3m = -5$
   $\Rightarrow m = \frac{5}{3}$

   অতএব, উৎপন্ন রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয় যথাক্রমে $m_A = -\frac{3}{5}$ এবং $m_B = \frac{5}{3}$।

   এখন, ঢালদ্বয়ের গুণফল:
   $m_A \times m_B = \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(\frac{5}{3}\right) = -1$

   যেহেতু ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$, তাই রেখা দুটি পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)