উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১ : z1=−1+3i z_1=-1+\sqrt3i এবং z2=1−3i z_2=1-\sqrt3i
দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=l+mx+nx2 g(x)=l+mx+nx^2
- ক)(1)
i এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
- খ)(2)
প্রমাণ কর যে, arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)\arg \left(\mathrm{z}{1} \mathrm{z}{2}\right)=\arg \left(\mathrm{z}{1}\right)+\arg \left(\mathrm{z}{2}\right).
- গ)(3)
উদ্দীপক-২ এ, l+m+n=0\mathrm{l}+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0 হলে, প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω)}3=27lmn{\mathrm{g}(\omega)}^{3}+{\mathrm{g}(\omega)}^{3}=27 lmn
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে টাইপো থাকায় দ্বিতীয় পদ {g(ω)}³-কে {g(ω²)}³ হিসেবে সংশোধন করে সমাধান করা হয়েছে।
ধরি, x = √i
বা, x² = i = 1/2 (2i) = 1/2 (1 + 2i - 1) = 1/2 (1 + 2i + i²)
বা, x² = 1/2 (1 + i)²
∴ x = ± 1/√2 (1 + i)অতএব, i এর বর্গমূল ± 1/√2 (1 + i)।
- খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে টাইপো থাকায় দ্বিতীয় পদ {g(ω)}³-কে {g(ω²)}³ হিসেবে সংশোধন করে সমাধান করা হয়েছে।
দেওয়া আছে, z₁ = -1 + √3i এবং z₂ = 1 - √3i।
z₁ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
∴ arg(z₁) = π - tan⁻¹|√3 / (-1)| = π - π/3 = 2π/3z₂ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
∴ arg(z₂) = -tan⁻¹|-√3 / 1| = -π/3এখন, z₁z₂ = (-1 + √3i)(1 - √3i)
= -1 + √3i + √3i - 3i²
= -1 + 2√3i + 3
= 2 + 2√3iz₁z₂ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
∴ arg(z₁z₂) = tan⁻¹|(2√3) / 2| = tan⁻¹(√3) = π/3আবার, arg(z₁) + arg(z₂) = 2π/3 + (-π/3) = π/3
অতএব, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) (প্রমাণিত)।
- গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে টাইপো থাকায় দ্বিতীয় পদ {g(ω)}³-কে {g(ω²)}³ হিসেবে সংশোধন করে সমাধান করা হয়েছে।
প্রশ্নটিতে মুদ্রণপ্রমাদ রয়েছে; দ্বিতীয় পদটি {g(ω²)}³ ধরে সমাধান করা হলো:
দেওয়া আছে, g(x) = l + mx + nx² এবং l + m + n = 0।
∴ g(ω) = l + mω + nω²
এবং g(ω²) = l + mω² + n(ω²)² = l + mω² + nω⁴ = l + mω² + nω [যেহেতু ω³ = 1]ধরি, A = g(ω) = l + mω + nω² এবং B = g(ω²) = l + mω² + nω
এখন, A + B = 2l + m(ω + ω²) + n(ω² + ω)
= 2l + m(-1) + n(-1) [যেহেতু 1 + ω + ω² = 0]
= 2l - (m + n)
= 2l - (-l) [যেহেতু l + m + n = 0 ⇒ m + n = -l]
= 3lএবং AB = (l + mω + nω²)(l + mω² + nω)
= l² + lmω² + lnω + lmω + m²ω³ + mnω² + lnω² + mnω⁴ + n²ω³
= l² + m² + n² + lm(ω² + ω) + mn(ω² + ω) + nl(ω + ω²)
= l² + m² + n² - (lm + mn + nl)যেহেতু l + m + n = 0,
(l + m + n)² = 0
⇒ l² + m² + n² + 2(lm + mn + nl) = 0
⇒ l² + m² + n² = -2(lm + mn + nl)∴ AB = -2(lm + mn + nl) - (lm + mn + nl) = -3(lm + mn + nl)
এখন, {g(ω)}³ + {g(ω²)}³ = A³ + B³
= (A + B)(A² - AB + B²)
= (A + B){(A + B)² - 3AB}
= 3l · {(3l)² - 3(-3(lm + mn + nl))}
= 3l · {9l² + 9(lm + mn + nl)}
= 27l · {l² + lm + mn + nl}
= 27l · {l(l + m + n) + mn}
= 27l · {l(0) + mn} [যেহেতু l + m + n = 0]
= 27lmnঅতএব, {g(ω)}³ + {g(ω²)}³ = 27lmn (প্রমাণিত)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও