উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মূল = 2 - √(-3) = 2 - i√3
   যেহেতু মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে থাকে, তাই অপর মূলটি হবে 2 + i√3।

   মূলদ্বয়ের যোগফল = (2 - i√3) + (2 + i√3) = 4
   মূলদ্বয়ের গুণফল = (2 - i√3)(2 + i√3) = 2² - (i√3)² = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7

   নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
   => x² - 4x + 7 = 0।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত ১ম সমীকরণ: 8x² + 2x - (b + 4) = 0
   ধরি, সমীকরণটির একটি মূল α, অতএব অপর মূলটি α²।

   মূলদ্বয়ের যোগফল,
   α + α² = - 2/8 = - 1/4
   => 4α² + 4α + 1 = 0
   => (2α + 1)² = 0
   => 2α + 1 = 0
   => α = - 1/2

   মূলদ্বয়ের গুণফল,
   α · α² = - (b + 4) / 8
   => α³ = - (b + 4) / 8

   α এর মান বসিয়ে পাই,
   (- 1/2)³ = - (b + 4) / 8
   => - 1/8 = - (b + 4) / 8
   => 1 = b + 4
   => b = 1 - 4
   => b = - 3

   অতএব, নির্ণেয় b এর মান -3।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত ২য় সমীকরণ: y² + y + 1 = 0
   দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   y = [-1 ± √(1² - 4·1·1)] / (2·1)
   = (-1 ± √(-3)) / 2
   = (-1 ± i√3) / 2

   আমরা জানি, এককের কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয় হলো ω = (-1 + i√3)/2 এবং ω² = (-1 - i√3)/2।
   যেহেতু y² + y + 1 = 0 এর মূলদ্বয় α ও β,
   অতএব আমরা ধরতে পারি,
   α = (-1 + i√3)/2 = ω এবং β = (-1 - i√3)/2 = ω²

   ১ম অংশ:
   α² = [(-1 + i√3)/2]²
   = [(-1)² + 2(-1)(i√3) + (i√3)²] / 4
   = [1 - 2i√3 - 3] / 4
   = [-2 - 2i√3] / 4
   = (-1 - i√3) / 2 = β
   ∴ α² = β

   ২য় অংশ:
   β² = (ω²)² = ω⁴ = ω³ · ω
   যেহেতু ω³ = 1,
   ∴ β² = 1 · ω = ω = α

   অতএব, α² = β এবং β² = α (দেখানো হলো)।