গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
$I = \int \frac{x^2 \, dx}{e^{x^3} - e^{-x^3}}$

ধরি, $x^3 = z$
$\implies 3x^2 \, dx = dz \implies x^2 \, dx = \frac{dz}{3}$

অতএব,
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dz}{e^z - e^{-z}} = \frac{1}{3} \int \frac{e^z \, dz}{e^{2z} - 1}$

আবার ধরি, $e^z = u \implies e^z \, dz = du$

$I = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u^2 - 1}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + c$
$= \frac{1}{6} \ln \left| \frac{e^z - 1}{e^z + 1} \right| + c$
$= \frac{1}{6} \ln \left| \frac{e^{x^3} - 1}{e^{x^3} + 1} \right| + c$

যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।