পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তের একক দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বা সংকোচন ঘটাতে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয়, তাকে ঐ স্প্রিংয়ের স্প্রিং ধ্রুবক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল ছন্দিত স্পন্দন হলো এমন একটি পর্যাবৃত্ত গতি, যেখানে কোনো কণার ত্বরণ এর সাম্যাবস্থা থেকে সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা সাম্যাবস্থামুখী হয়। একটি সুরশলাকার বাহুকে আঘাত করলে এর বাহুর কণাগুলোর যে স্পন্দন সৃষ্টি হয়, তা একটি নির্দিষ্ট সাম্যাবস্থার উভয় পাশে পর্যায়বৃত্তভাবে দুলতে থাকে। আঘাতের ফলে বাহুতে উৎপন্ন প্রত্যয়নী বল এবং ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী (সাম্যাবস্থামুখী) থাকে। তাই কম্পনশীল সুরশলাকার বাহুর স্পন্দন একটি সরল ছন্দিত স্পন্দন।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী, ভূ-পৃষ্ঠে দোলকটি একটি সেকেন্ড দোলক।
   সেকেন্ড দোলকের পর্যায়কাল, $T = 2\text{ s}$
   আমরা জানি, ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$
   দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ হলে,
   $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
   বা, $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$
   বা, $L = \frac{g T^2}{4\pi^2}$
   বা, $L = \frac{9.8 \times 2^2}{4\pi^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \approx 0.9929\text{ m}$

   অতএব, দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় $0.993\text{ m}$ বা $99.3\text{ cm}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R = 6400\text{ km} = 6.4 \times 10^6\text{ m}$
   একটি দিনে মোট সেকেন্ড সংখ্যা, $86400\text{ s}$

   খনির গভীরতা $h_1$ হলে:
   প্রতিদিন দোলকটি $n_1 = 20\text{ s}$ ধীরে চলে।
   সুতরাং, খনির অভ্যন্তরে দোলকটির পর্যায়কাল:
   $T_1 = \frac{86400 \times 2}{86400 - 20} = \frac{172800}{86380}\text{ s}$
   আমরা জানি, $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$
   অতএব, $\frac{g_1}{g} = \left(\frac{T}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{86380}{86400}\right)^2 = \left(1 - \frac{20}{86400}\right)^2 \approx 1 - \frac{40}{86400} = 1 - \frac{1}{2160}$
   আবার, খনির গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_1 = g\left(1 - \frac{h_1}{R}\right)$
   বা, $1 - \frac{h_1}{R} = \left(\frac{86380}{86400}\right)^2 \approx 1 - \frac{40}{86400}$
   বা, $\frac{h_1}{R} \approx \frac{40}{86400} = \frac{1}{2160}$
   বা, $h_1 = \frac{6400\text{ km}}{2160} \approx 2.963\text{ km}$

   পাহাড়ের উচ্চতা $h_2$ হলে:
   প্রতিদিন দোলকটি $n_2 = 1\text{ min} = 60\text{ s}$ ধীরে চলে।
   সুতরাং, পাহাড়ের শীর্ষে পর্যায়কাল:
   $T_2 = \frac{86400 \times 2}{86400 - 60} = \frac{172800}{86340}\text{ s}$
   পাহাড়ের শীর্ষে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_2 = g \left(\frac{R}{R+h_2}\right)^2$
   যেহেতু $\frac{g_2}{g} = \left(\frac{T}{T_2}\right)^2$,
   সুতরাং, $\frac{R}{R+h_2} = \frac{T}{T_2} = \frac{86340}{86400}$
   বা, $\frac{R+h_2}{R} = \frac{86400}{86340}$
   বা, $1 + \frac{h_2}{R} = \frac{86400}{86340}$
   বা, $\frac{h_2}{R} = \frac{86400 - 86340}{86340} = \frac{60}{86340}$
   বা, $h_2 = 6400\text{ km} \times \frac{60}{86340} \approx 4.448\text{ km}$

   খনির গভীরতা ও পাহাড়ের উচ্চতার অনুপাত:
   $\frac{h_1}{h_2} = \frac{2.963}{4.448} \approx 0.666$ বা, $h_2 \approx 1.5 h_1$

   অতএব, পাহাড়ের উচ্চতা ($4.448\text{ km}$) খনির গভীরতার ($2.963\text{ km}$) প্রায় $1.5$ গুণ বা খনির গভীরতা অপেক্ষা বেশি।