পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   অসীম দূরত্ব থেকে একক ভরের কোনো বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষীয় বল দ্বারা যে পরিমাণ কাজ সম্পন্ন হয়, তাকে ঐ বিন্দুর মহাকর্ষীয় বিভব বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রযুক্ত বল যদি সর্বদা বস্তুর গতির দিকের (বেগের) সাথে সমকোণে বা লম্বভাবে ক্রিয়াশীল থাকে, তবে বস্তুর দ্রুতি অপরিবর্তিত থাকে এবং বস্তুটি সমদ্রুতিতে গতিশীল থাকে। কারণ বল বেগের লম্ব বরাবর ক্রিয়া করায় বেগের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না (কাজ W = F·s·cos 90° = 0), ফলে গতিশক্তি ও দ্রুতি অপরিবর্তিত থাকে; কেবল গতির দিক পরিবর্তিত হয়। যেমন— সুষম বৃত্তীয় গতিতে কেন্দ্রমুখী বল বস্তুর গতির দিকের সাথে সর্বদা লম্বভাবে ক্রিয়া করে, ফলে বস্তুটি সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার পথে আবর্তন করে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক মতে,
   আদিবেগ, $v_0 = 32\text{ m s}^{-1}$
   নিক্ষেপণ কোণ, $\theta_0 = 30^\circ$
   সময়, $t = 1.2\text{ s}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m s}^{-2}$

   $t = 1.2\text{ s}$ পর বেগের আনুভূমিক উপাংশ,
   $v_x = v_0 \cos\theta_0 = 32 \times \cos 30^\circ = 32 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 27.713\text{ m s}^{-1}$

   $t = 1.2\text{ s}$ পর বেগের উলম্ব উপাংশ,
   $v_y = v_0 \sin\theta_0 - gt = 32 \times \sin 30^\circ - 9.8 \times 1.2$
   $= 32 \times 0.5 - 11.76 = 16 - 11.76 = 4.24\text{ m s}^{-1}$

   সুতরাং, $1.2\text{ s}$ পরে বস্তুটির লব্ধি বেগ,
   $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(27.713)^2 + (4.24)^2} = \sqrt{768 + 17.9776} = \sqrt{785.9776} \approx 28.035\text{ m s}^{-1}$

   অতএব, $1.2\text{ s}$ পরে বস্তুটির বেগ হবে প্রায় $28.04\text{ m s}^{-1}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   নিক্ষেপণ বেগ, $v_0 = 32\text{ m s}^{-1}$
   দেয়ালের দূরত্ব, $x = 85\text{ m}$
   দেয়ালের উচ্চতা, $h = 2\text{ m}$

   প্রাসটি $AB$ দেয়ালে আঘাত করবে যদি $x = 85\text{ m}$ অবস্থানে প্রাসের উচ্চতা $y$ এমন হয় যেন $0 \le y \le 2\text{ m}$ হয়।

   আমরা জানি, প্রাসের গতিপথের সমীকরণ:
   $y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta} = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2} (1 + \tan^2\theta)$

   এখানে,
   $\frac{g x^2}{2 v_0^2} = \frac{9.8 \times (85)^2}{2 \times (32)^2} = \frac{9.8 \times 7225}{2048} = \frac{70805}{2048} \approx 34.57275\text{ m}$

   অতএব,
   $y = 85 \tan\theta - 34.57275 (1 + \tan^2\theta)$
   বা, $34.57275 \tan^2\theta - 85 \tan\theta + (y + 34.57275) = 0$

   ১. দেয়ালের চূড়া $B$ বিন্দুতে আঘাত করার শর্ত ($y = 2\text{ m}$):
   $34.57275 \tan^2\theta - 85 \tan\theta + 36.57275 = 0$
   দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে,
   $\tan\theta = \frac{85 \pm \sqrt{(-85)^2 - 4 \times 34.57275 \times 36.57275}}{2 \times 34.57275}$
   $\tan\theta = \frac{85 \pm \sqrt{7225 - 5057.172}}{69.1455} = \frac{85 \pm \sqrt{2167.828}}{69.1455} = \frac{85 \pm 46.56}{69.1455}$

   ছোট মানটি নিলে,
   $\tan\theta_1 = \frac{85 - 46.56}{69.1455} = \frac{38.44}{69.1455} \approx 0.55593 \implies \theta_1 \approx 29.07^\circ$
   (বড় মান নিলে $\tan\theta = 1.9026 \implies \theta \approx 62.27^\circ$)

   ২. দেয়ালের পাদদেশ $A$ বিন্দুতে আঘাত করার শর্ত ($y = 0\text{ m}$):
   $34.57275 \tan^2\theta - 85 \tan\theta + 34.57275 = 0$
   $\tan\theta = \frac{85 \pm \sqrt{7225 - 4 \times (34.57275)^2}}{69.1455} = \frac{85 \pm \sqrt{7225 - 4781.096}}{69.1455} = \frac{85 \pm \sqrt{2443.904}}{69.1455} = \frac{85 \pm 49.4358}{69.1455}$

   ছোট মানটি নিলে,
   $\tan\theta_2 = \frac{85 - 49.4358}{69.1455} = \frac{35.5642}{69.1455} \approx 0.51434 \implies \theta_2 \approx 27.22^\circ$

   সুতরাং, নিক্ষেপণ কোণ $27.22^\circ$ থেকে $29.07^\circ$-এর মধ্যে হলে প্রাসটি দেয়াল $AB$-তে বাধা পাবে।
   বর্তমান নিক্ষেপণ কোণ $\theta_0 = 30^\circ$।

   অতএব, দেয়ালে বাধা পেতে হলে কোণের সর্বনিম্ন পরিবর্তন হবে:
   $\Delta\theta = 30^\circ - 29.07^\circ = 0.93^\circ$

   অর্থাৎ নিক্ষেপণ কোণ সর্বনিম্ন $0.93^\circ$ হ্রাস করলে প্রাসটি $AB$ দেয়ালে বাধা পাবে।