উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $2(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sqrt{3}$
   $\Rightarrow 2 \cos 2x = \sqrt{3}$
   $\Rightarrow \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}$

   আমরা জানি, $\cos \theta = \cos \alpha$ হলে, $\theta = 2n\pi \pm \alpha$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।
   $\Rightarrow 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$
   $\Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{12}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $f(x) + g(x) = f(2x) + g(2x)$
   $\Rightarrow \sin x + \cos x = \sin 2x + \cos 2x$
   $\Rightarrow \cos x - \cos 2x = \sin 2x - \sin x$
   $\Rightarrow 2 \sin \frac{x + 2x}{2} \sin \frac{2x - x}{2} = 2 \cos \frac{2x + x}{2} \sin \frac{2x - x}{2}$
   $\Rightarrow 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
   $\Rightarrow 2 \sin \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2} \right) = 0$

   হয়, $\sin \frac{x}{2} = 0$
   $\Rightarrow \frac{x}{2} = n\pi$
   $\Rightarrow x = 2n\pi$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

   অথবা, $\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = 0$
   $\Rightarrow \sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2}$
   $\Rightarrow \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
   $\Rightarrow \frac{3x}{2} = m\pi + \frac{\pi}{4}$
   $\Rightarrow x = \frac{2m\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{(4m + 1)\pi}{6}$, যেখানে $m \in \mathbb{Z}$।

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = 2n\pi$ অথবা $x = \frac{(4m + 1)\pi}{6}$, যেখানে $n, m \in \mathbb{Z}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $4 g(x) g(2x) g(3x) = 1$
   $\Rightarrow 4 \cos x \cos 2x \cos 3x = 1$
   $\Rightarrow 2(2 \cos 3x \cos x) \cos 2x = 1$
   $\Rightarrow 2(\cos 4x + \cos 2x) \cos 2x = 1$
   $\Rightarrow 2 \cos 4x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 1$
   $\Rightarrow (\cos 6x + \cos 2x) + (1 + \cos 4x) = 1$
   $\Rightarrow \cos 6x + \cos 4x + \cos 2x = 0$
   $\Rightarrow (\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0$
   $\Rightarrow 2 \cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0$
   $\Rightarrow \cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0$

   হয়, $\cos 4x = 0$
   $\Rightarrow 4x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$
   $\Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi}{8}$
   যেহেতু $0 < x < \pi$,
   $n = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}$
   $n = 1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8}$
   $n = 2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{8}$
   $n = 3 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{8}$

   অথবা, $2 \cos 2x + 1 = 0$
   $\Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
   $\Rightarrow 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
   $\Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
   যেহেতু $0 < x < \pi$,
   $n = 0$ হলে $x = \frac{\pi}{3}$
   $n = 1$ হলে $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

   অতএব, $0 < x < \pi$ ব্যবধিতে নির্ণেয় মানসমূহ:
   $x = \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{8}$।