উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বামপক্ষ $=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 6-a \\ 3 & b & 9-b \\ 9 & c & 27-c\end{array}\right|$

   $C_3' = C_3 + C_2$ প্রয়োগ করে পাই,
   $=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 6 \\ 3 & b & 9 \\ 9 & c & 27\end{array}\right|$

   তৃতীয় কলাম থেকে $3$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে পাই,
   $= 3 \left|\begin{array}{ccc}2 & a & 2 \\ 3 & b & 3 \\ 9 & c & 9\end{array}\right|$

   যেহেতু প্রথম কলাম ($C_1$) এবং তৃতীয় কলাম ($C_3$) সর্বসম ($C_1 = C_3$),
   কাজেই নির্ণায়কের মান শূন্য।
   $= 3 \times 0 = 0 =$ ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ জোট:
   $x - y + z = 2$
   $2x + 0y + z = 5$
   $x + 2y - 3z = -4$

   সহগ নির্ণায়ক,
   $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3\end{array}\right|$
   $= 1(0 - 2) - (-1)(-6 - 1) + 1(4 - 0) = -2 + 1(-7) + 4 = -2 - 7 + 4 = -5 \neq 0$

   $D_x = \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & -3\end{array}\right|$
   $= 2(0 - 2) - (-1)(-15 - (-4)) + 1(10 - 0) = -4 + 1(-11) + 10 = -5$

   $D_y = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & -4 & -3\end{array}\right|$
   $= 1(-15 - (-4)) - 2(-6 - 1) + 1(-8 - 5) = -11 - 2(-7) - 13 = -11 + 14 - 13 = -10$ না, আবার হিসাব:
   $D_y = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 + 14 - 13 = -10 পুনরায় পরীক্ষা:$2x+z=5 \Rightarrow 2(2)+1=5$,$x-y+z = 2-(-1)+1=4 \neq 2$, সমীকরণ ছিল$x-y+z=2$। যদি$x=2, y=1, z=1$হয়:$2-1+1=2$,$2(2)+1=5$,$2+2(1)-3(1)=1 \neq -4$। সরাসরি সমাধান:$D_y = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \ 2 & 5 & 1 \ 1 & -4 & -3\end{array}\right| = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 + 14 - 13 = -10$? না,$y = \frac{D_y}{D}$:$D_z = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \ 2 & 0 & 5 \ 1 & 2 & -4\end{array}\right| = 1(0 - 10) - (-1)(-8 - 5) + 2(4 - 0) = -10 + 1(-13) + 8 = -15$তাহলে:$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{-5} = 1$$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{-5} = 2$নয়, চলুন$D_y$পুনঃগণনা করি:$D_y = 1(5(-3) - 1(-4)) - 2(2(-3) - 1(1)) + 1(2(-4) - 5(1)) = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 - 2(-7) - 13 = -11 + 14 - 13 = -10$. অতএব,$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{-5} = 1$$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{-5} = 2$$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-15}{-5} = 3$

   যাচাই:
   (i) $1 - 2 + 3 = 2$ (সঠিক)
   (ii) $2(1) + 3 = 5$ (সঠিক)
   (iii) $1 + 2(2) - 3(3) = 1 + 4 - 9 = -4$ (সঠিক)

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = 2, z = 3$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সহগ ম্যাট্রিক্স $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

   এর উপাদানসমূহের সহগুণকসমূহ:
   $C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -2$
   $C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-6 - 1) = 7$
   $C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4$

   $C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -(3 - 2) = -1$
   $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 - 1 = -4$
   $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - (-1)) = -3$

   $C_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$
   $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$
   $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$

   সহগুণকগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স:
   $B = \begin{bmatrix} -2 & 7 & 4 \\ -1 & -4 & -3 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

   $B$ এর নির্ণায়কের মান:
   $|B| = -2(-8 - (-3)) - 7(-2 - 3) + 4(-1 - 4)$
   $= -2(-5) - 7(-5) + 4(-5) = 10 + 35 - 20 = 25 \neq 0$

   অতএব $B^{-1}$ বিদ্যমান।
   এখন $B$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স $M$ নির্ণয় করি:
   $M_{11} = +(-8 - (-3)) = -5$
   $M_{12} = -(-2 - 3) = 5$
   $M_{13} = +(-1 - 4) = -5$
   $M_{21} = -(14 - 4) = -10$
   $M_{22} = +(-4 - (-4)) = 0$
   $M_{23} = -(-2 - (-7)) = -5$
   $M_{31} = +(-21 - (-16)) = -5$
   $M_{32} = -(6 - (-4)) = -10$
   $M_{33} = +(8 - (-7)) = 15$

   $\operatorname{adj}(B) = M^T = \begin{bmatrix} -5 & -10 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -5 & 15 \end{bmatrix}$

   অতএব, $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \operatorname{adj}(B) = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -5 & -10 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/5 & -2/5 & -1/5 \\ 1/5 & 0 & -2/5 \\ -1/5 & -1/5 & 3/5 \end{bmatrix}$।