নিচের যোগজের মান নির্ণয় করঃ ∫π3π2cos⁡5xsin⁡7xdx \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{5}{x}}{\sin^{7}{x}} dx

Question

Accepted Answer

ঘ. 1/162

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি: $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{5}{x}}{\sin^{7}{x}} dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\cos x}{\sin x}ight)^5 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^5 x \csc^2 x dx$। ধরি, $u = \cot x$। সুতরাং $du = -\csc^2 x dx \implies \csc^2 x dx = -du$। সীমা পরিবর্তন করলে: $x = \frac{\pi}{3}$ হলে $u = \cot\left(\frac{\pi}{3}ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $x = \frac{\pi}{2}$ হলে $u = \cot\left(\frac{\pi}{2}ight) = 0$। অতএব, যোগজটি দাঁড়ায়: $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{0} u^5 (-du) = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} u^5 du = \left[ \frac{u^6}{6} ight]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight)^6 = \frac{1}{6} 	imes \frac{1}{27} = \frac{1}{162}$। সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 4।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন