উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ডানপক্ষ (= \frac{2}{\sqrt{2-2\sin x}}
   = \frac{2}{\sqrt{2(1 - \sin x)}}
   = \frac{2}{\sqrt{2\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right)}}
   = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)}}
   = \frac{2}{2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)}
   = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right)}
   = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)}
   = \sec\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) =) বামপক্ষ।
   (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, (B = 30^\circ)।

   বামপক্ষ (= 16 \sin \frac{B}{3} \sin \frac{5B}{3} \sin \frac{7B}{3}
   = 16 \sin \frac{30^\circ}{3} \sin \frac{5 \times 30^\circ}{3} \sin \frac{7 \times 30^\circ}{3}
   = 16 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ
   = 16 \sin 10^\circ \sin(60^\circ - 10^\circ) \sin(60^\circ + 10^\circ))

   আমরা জানি, (\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4}\sin 3\theta)।
   এখানে (\theta = 10^\circ) বসালে,
   (= 16 \times \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ)
   = 4 \sin 30^\circ
   = 4 \times \frac{1}{2}
   = 2)

   আবার, ডানপক্ষ (= \operatorname{cosec} B = \operatorname{cosec} 30^\circ = 2)

   (\therefore 16 \sin \frac{B}{3} \sin \frac{5B}{3} \sin \frac{7B}{3} = \operatorname{cosec} B)।
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   (A = 45^\circ)
   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, (B = 30^\circ)
   বাহু (c = (\sqrt{3} + 1)) সে.মি.

   আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি (180^\circ)।
   (\therefore C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ)

   এখন,
   (\sin C = \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ)
   = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
   = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}})

   সাইন সূত্রানুসারে,
   (\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
   \implies a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \sin 45^\circ}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = 2) সে.মি.

   (\therefore \Delta ABC)-এর ক্ষেত্রফল (= \frac{1}{2} a c \sin B
   = \frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{3} + 1) \times \sin 30^\circ
   = (\sqrt{3} + 1) \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}) বর্গ সে.মি.
   (\approx 1.366) বর্গ সে.মি.

   উত্তর: (\frac{\sqrt{3} + 1}{2}) বর্গ সে.মি. (বা প্রায় (1.366) বর্গ সে.মি.)