উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{3 + \sin^2 x} dx$
   $= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{3 + (1 - \cos^2 x)} dx$
   $= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{4 - \cos^2 x} dx$

   ধরি, $z = \cos x$
   $\therefore dz = -\sin x dx \implies \sin x dx = -dz$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $z = \cos 0 = 1$
   যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $z = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

   $\therefore I = \int_1^0 \frac{-dz}{4 - z^2} = \int_0^1 \frac{dz}{2^2 - z^2}$
   $= \left[ \frac{1}{2 \times 2} \ln \left| \frac{2 + z}{2 - z} \right| \right]_0^1$
   $= \frac{1}{4} \left( \ln\left|\frac{2+1}{2-1}\right| - \ln\left|\frac{2+0}{2-0}\right| \right)$
   $= \frac{1}{4} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{4} \ln 3$

   নির্ণেয় মান $\frac{1}{4}\ln 3$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বক্ররেখা: $g(x, y) = y(x - 3)(x - 5) + x - 10 = 0$
   বা, $y(x^2 - 8x + 15) + x - 10 = 0$ ..... (i)

   যেহেতু বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে ছেদ করে, তাই ঐ বিন্দুতে $y = 0$ হবে।
   (i) নং সমীকরণে $y = 0$ বসিয়ে পাই:
   $0 + x - 10 = 0 \implies x = 10$
   সুতরাং ছেদবিন্দুটি $(10, 0)$।

   এখন (i) নং সমীকরণকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{dy}{dx}(x^2 - 8x + 15) + y(2x - 8) + 1 = 0$
   $\implies \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - y(2x - 8)}{x^2 - 8x + 15}$

   $(10, 0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(10, 0)} = \frac{-1 - 0(20 - 8)}{100 - 80 + 15} = \frac{-1}{35} = -\frac{1}{35}$

   $(10, 0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - 0 = m(x - 10)$
   $\implies y = -\frac{1}{35}(x - 10)$
   $\implies 35y = -x + 10$
   $\implies x + 35y - 10 = 0$

   $(10, 0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - 0 = -\frac{1}{m}(x - 10)$
   $\implies y = 35(x - 10)$
   $\implies 35x - y - 350 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin^{-1} x$
   $\therefore y = e^{3\sin^{-1} x}$ ..... (i)

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \frac{dy}{dx} = e^{3\sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(3\sin^{-1} x)$
   $\implies y_1 = y \cdot \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}$ [সমীকরণ (i) থেকে]
   $\implies \sqrt{1 - x^2} \, y_1 = 3y$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1 - x^2) y_1^2 = 9y^2$

   এবার পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx} \left[ (1 - x^2) y_1^2 \right] = \frac{d}{dx} (9y^2)$
   $\implies (-2x) y_1^2 + (1 - x^2) \cdot 2y_1 \frac{dy_1}{dx} = 9 \cdot 2y \frac{dy}{dx}$
   $\implies -2x y_1^2 + 2(1 - x^2) y_1 y_2 = 18y y_1$

   উভয়পক্ষকে $2y_1$ ($y_1 \neq 0$) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $-x y_1 + (1 - x^2) y_2 = 9y$
   $\implies (1 - x^2)y_2 - x y_1 - 9y = 0$
   (প্রমাণিত)