উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প : f(x)=1−sin2x f(x)=\sqrt{1-\sin ^{2} x}
- ক)(2)
sec−1tan{sin(cos−1x)} \sec ^{-1} \tan \left{\sin \left(\cos ^{-1} x\right)\right} এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(4)
f{(xa)}−1+f{(yb)}−1=θ হলে, দেখাও যে, b2x2−2abxycosθ+a2y2=a2b2sin2θ \begin{array}{l} f \left{\left(\frac{x}{a}\right)\right}^{-1}+ f \left{\left(\frac{y}{b}\right)\right}^{-1}=\theta \text { হলে, দেখাও যে, } \ b^{2} x^{2}-2 a b x y \cos \theta+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \sin ^{2} \theta \end{array}
- গ)(4)
সমাধান কর : f(x2)+f(π2−x)=f(2x)+f(π2−2x) f\left(x^{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=f(2 x)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) ; যখন 0≤x≤π 0 \leq x \leq \pi .
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত রাশি = sec⁻¹ tan{sin(cos⁻¹ x)}
ধরি, cos⁻¹ x = A ⇒ cos A = x
∴ sin A = √(1 - cos²A) = √(1 - x²)
সুতরাং, প্রদত্ত রাশি = sec⁻¹ tan(sin A) = sec⁻¹ tan(√(1 - x²))
ধরি, tan⁻¹(√(1 - x²)) বা এখানে tan এর কোণ হলো √(1 - x²)।
যদি প্রশ্নটি sec⁻¹[tan{sin⁻¹(cos A)}] বা সাধারণ রূপান্তর নির্দেশ করে:
প্রদত্ত রাশি: sec⁻¹[tan{sin(sin⁻¹√(1 - x²))}]
= sec⁻¹[tan(√(1 - x²))]
যদি রাশিটি sec[tan⁻¹{sin(cos⁻¹ x)}] জাতীয় প্রমিত সমস্যা হতো তবে মান আসত √(2 - x²)। তবে প্রদত্ত রাশি অনুযায়ী এর সরলীকৃত রূপ sec⁻¹(tan√(1 - x²))।প্রমিত সমাধান:
cos⁻¹ x = sin⁻¹ √(1 - x²)
∴ sin(cos⁻¹ x) = √(1 - x²)
অতএব, sec⁻¹ tan{sin(cos⁻¹ x)} = sec⁻¹(tan(√(1 - x²)))। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক হতে,
f(x) = √(1 - sin² x) = cos x
তাহলে, f⁻¹(x) = cos⁻¹ xপ্রদত্ত সমীকরণ:
[f(x/a)]⁻¹ + [f(y/b)]⁻¹ = θ [এখানে f⁻¹(x/a) + f⁻¹(y/b) = θ]
⇒ cos⁻¹(x/a) + cos⁻¹(y/b) = θ
⇒ cos⁻¹[(x/a)(y/b) - √{1 - (x/a)²}√{1 - (y/b)²}] = θ
⇒ (xy)/(ab) - √{(1 - x²/a²)(1 - y²/b²)} = cos θ
⇒ (xy)/(ab) - cos θ = √{(1 - x²/a²)(1 - y²/b²)}উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
[(xy)/(ab) - cos θ]² = (1 - x²/a²)(1 - y²/b²)
⇒ x²y²/(a²b²) - 2(xy)/(ab)cos θ + cos² θ = 1 - x²/a² - y²/b² + x²y²/(a²b²)
⇒ x²/a² - 2(xy)/(ab)cos θ + y²/b² = 1 - cos² θ
⇒ x²/a² - 2(xy)/(ab)cos θ + y²/b² = sin² θউভয়পক্ষকে a²b² দ্বারা গুণ করে পাই,
b²x² - 2abxy cos θ + a²y² = a²b² sin² θ (দেখানো হলো)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত উদ্দীপক হতে f(x) = cos x।
প্রশ্নমতে, f(x²) + f(π/2 - x) = f(2x) + f(π/2 - 2x) [মুদ্রণপ্রমাদ অনুযায়ী f(x) এর জন্য f(x) + f(π/2 - x) = f(2x) + f(π/2 - 2x)]:
⇒ cos x + cos(π/2 - x) = cos 2x + cos(π/2 - 2x)
⇒ cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
⇒ (sin x - sin 2x) + (cos x - cos 2x) = 0
⇒ 2 sin((x - 2x)/2) cos((x + 2x)/2) + 2 sin((2x + x)/2) sin((2x - x)/2) = 0
⇒ -2 sin(x/2) cos(3x/2) + 2 sin(3x/2) sin(x/2) = 0
⇒ 2 sin(x/2) [sin(3x/2) - cos(3x/2)] = 0হয়, sin(x/2) = 0
⇒ x/2 = nπ ⇒ x = 2nπ
যেহেতু 0 ≤ x ≤ π, n = 0 হলে x = 0।অথবা, sin(3x/2) - cos(3x/2) = 0
⇒ sin(3x/2) = cos(3x/2)
⇒ tan(3x/2) = 1 = tan(π/4)
⇒ 3x/2 = nπ + π/4
⇒ x = (2nπ/3) + π/60 ≤ x ≤ π ব্যবধিতে:
n = 0 হলে, x = π/6
n = 1 হলে, x = 2π/3 + π/6 = 5π/6অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x = 0, π/6, 5π/6।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও