উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

   এখন,
   $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 2(2) + (-1)(3) & 2(-1) + (-1)(-2) \\ 3(2) + (-2)(3) & 3(-1) + (-2)(-2) \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4 - 3 & -2 + 2 \\ 6 - 6 & -3 + 4 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

   যেহেতু $A^2 = I$, সুতরাং প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ জোট:
   $x - 2y + z = 1$
   $2x + 6y - z = 2$
   $x + 3y - 3z = 3$

   সহগ নির্ণায়ক:
   $D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
   $= 1(-18 + 3) - (-2)(-6 + 1) + 1(6 - 6)$
   $= 1(-15) + 2(-5) + 1(0) = -15 - 10 = -25 \neq 0$

   এখন,
   $D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
   $= 1(-18 + 3) + 2(-6 + 3) + 1(6 - 18)$
   $= 1(-15) + 2(-3) + 1(-12) = -15 - 6 - 12 = -33$

   $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
   $= 1(-6 + 3) - 1(-6 + 1) + 1(6 - 2)$
   $= 1(-3) - 1(-5) + 1(4) = -3 + 5 + 4 = 6$

   $D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}$
   $= 1(18 - 6) + 2(6 - 2) + 1(6 - 6)$
   $= 1(12) + 2(4) + 0 = 12 + 8 = 20$

   ক্র্যামারের নিয়মানুযায়ী,
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{-33}{-25} = \frac{33}{25}$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{6}{-25} = -\frac{6}{25}$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{20}{-25} = -\frac{4}{5}$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = \left(\frac{33}{25}, -\frac{6}{25}, -\frac{4}{5}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix}$

   এবং $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ yz & zx & xy \\ x & y & z \end{vmatrix}$

   $\Delta_1$ এর প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলামকে যথাক্রমে $x, y, z$ দ্বারা গুণ করে এবং বাইরে $\frac{1}{xyz}$ দিয়ে ভাগ করে পাই,
   $\Delta_1 = \frac{1}{xyz} \begin{vmatrix} x & y & z \\ xyz & xyz & xyz \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}$

   দ্বিতীয় সারি হতে সাধারণ উপাদান $xyz$ বের করে পাই,
   $\Delta_1 = \frac{xyz}{xyz} \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}$

   ১ম সারি ও ২য় সারির স্থান বিনিময় করে পাই (চিহ্ন পরিবর্তিত হবে):
   $\Delta_1 = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}$

   নির্ণায়কের সারিগুলোকে কলামে রূপান্তরিত করে (Transpose নিয়ে) পাই:
   $\Delta_1 = - \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = - \Delta$

   $\therefore \Delta_1 = - \Delta$
   $\implies \Delta + \Delta_1 = 0$ (দেখানো হলো)