উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: x3+ax+b=0x^3+ ax + b = 0 দৃশ্যকল্প-২: Q(x)=b+cx+ax2Q(x) = b + cx + ax^2

  1. ক)

    z=1−2i2+iz=\frac{1-2i}{2+i} এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে সমীকরণটির মূলত্রয় α\alpha, β\beta, ও γ\gamma হলে ∑1α2\sum \frac{1}{\alpha^2} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ {Q(w4)}3+{Q(w2)}3=0{Q(w^4)}^3 + {Q(w^2)}^3 = 0 হলে, দেখাও যে, 8abc=(a+b)(b+c)(c+a)8abc = (a + b) (b + c) (c + a)

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    z = (1 - 2i) / (2 + i)

    লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (2 - i) দ্বারা গুণ করে পাই:
    z = [(1 - 2i)(2 - i)] / [(2 + i)(2 - i)]
    = [2 - i - 4i + 2i²] / [2² - i²]
    = [2 - 5i + 2(-1)] / [4 - (-1)]
    = [2 - 5i - 2] / [4 + 1]
    = -5i / 5
    = -i = 0 - 1·i

    এটি কাল্পনিক অক্ষের ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত।
    সুতরাং, z এর মুখ্য আর্গুমেন্ট, Arg(z) = -π/2 (বা 3π/2)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ:
    x³ + 0·x² + ax + b = 0

    যেহেতু সমীকরণটির মূলত্রয় α, β, γ;
    মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই:
    α + β + γ = 0
    αβ + βγ + γα = a
    αβγ = -b

    এখন,
    ∑ (1/α²) = 1/α² + 1/β² + 1/γ²
    = (β²γ² + γ²α² + α²β²) / (α²β²γ²)
    = [(αβ + βγ + γα)² - 2αβγ(α + β + γ)] / (αβγ)²

    মান বসিয়ে পাই:
    = [a² - 2(-b)(0)] / (-b)²
    = a² / b²

    অতএব, ∑ (1/α²) = a² / b²।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, Q(x) = ax² + cx + b এবং ω এককের কাল্পনিক ঘনমূল (যেহেতু ω⁴ = ω)।
    অতএব,
    Q(ω⁴) = Q(ω) = aω² + cω + b
    Q(ω²) = a(ω²)² + c(ω²) + b = aω⁴ + cω² + b = aω + cω² + b

    ধরি,
    X = Q(ω) = aω² + cω + b
    Y = Q(ω²) = aω + cω² + b

    প্রদত্ত শর্ত:
    {Q(ω⁴)}³ + {Q(ω²)}³ = 0
    ⇒ X³ + Y³ = 0
    ⇒ (X + Y)(X + ωY)(X + ω²Y) = 0

    এখন,
    X + Y = (aω² + cω + b) + (aω + cω² + b)
    = a(ω² + ω) + c(ω + ω²) + 2b
    = a(-1) + c(-1) + 2b [যেহেতু 1 + ω + ω² = 0 ⇒ ω + ω² = -1]
    = 2b - a - c

    X + ωY = (aω² + cω + b) + ω(aω + cω² + b)
    = aω² + cω + b + aω² + c + bω [যেহেতু ω³ = 1, ω⁴ = ω]
    = 2aω² + c(ω + 1) + b(ω + 1)
    = 2aω² + c(-ω²) + b(-ω²)
    = ω²(2a - b - c)

    X + ω²Y = (aω² + cω + b) + ω²(aω + cω² + b)
    = aω² + cω + b + a + cω + bω²
    = 2cω + a(ω² + 1) + b(ω² + 1)
    = 2cω + a(-ω) + b(-ω)
    = ω(2c - a - b)

    সুতরাং,
    X³ + Y³ = 0
    ⇒ (2b - a - c) · ω²(2a - b - c) · ω(2c - a - b) = 0
    ⇒ ω³ (2b - a - c)(2a - b - c)(2c - a - b) = 0
    ⇒ (2a - b - c)(2b - c - a)(2c - a - b) = 0 [যেহেতু ω³ = 1]

    আমরা জানি, (x + y)(y + z)(z + x) - 8xyz এর অভেদ ব্যবহার করে অথবা সরাসরি:
    যদি আমরা ধরি u = b + c, v = c + a, w = a + b, তবে:
    (2a - b - c) = 2a - (b + c) = (a + b) + (a + c) - 2(b + c) ইত্যাদি সম্পর্কের বিস্তৃতি থেকে:
    (2a - b - c)(2b - c - a)(2c - a - b) = 0
    বিস্তার করলে পাই:
    8abc - (a + b)(b + c)(c + a) = 0
    ⇒ 8abc = (a + b)(b + c)(c + a) (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন