গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   পরিধি $2\pi r = 12\pi$, তাই ব্যাসার্ধ $r = 6$ সেমি।
   ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi\times 6^2 = \mathbf{36\pi}$ বর্গ সেমি (প্রায় ১১৩.১০ বর্গ সেমি)।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AD \parallel BC$ দুটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $AB = CD$।
   অঙ্কন: $B, D$ যোগ করি।
   প্রমাণ: $AD \parallel BC$ এবং $BD$ ছেদক, তাই একান্তর কোণ $\angle ADB = \angle DBC$।
   একই বৃত্তে $\angle ADB$ জ্যা $AB$ এর উপর এবং $\angle DBC$ জ্যা $CD$ এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ।
   সমান বৃত্তস্থ কোণের উপর দণ্ডায়মান চাপ সমান, তাই জ্যাও সমান।
   অতএব, $AB = CD$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\angle ADB + \angle BDC = 90^\circ$ হলে প্রমাণ করতে হবে $A, O, C$ একই সরলরেখায়।
   প্রমাণ: $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90^\circ$।
   চাপ $ABC$ (যা $D$ বিন্দুর বিপরীত দিকে) এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOC = 2\angle ADC = 2\times 90^\circ = 180^\circ$।
   $\angle AOC = 180^\circ$ হওয়ায় $A$, $O$, $C$ একই সরলরেখায় থাকে, অর্থাৎ $AC$ ব্যাস।
   অতএব, $A, O$ এবং $C$ একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)