উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপকঃ z=−2+2iz=-2+2 i একটি জটিল সংখ্যা এবং f(x)=x3+2x2+x+3f(x)=x^3+2 x^2+x+3 একটি বহুপদী রাশি।
- ক)(1)
Z এর মুখ্য আর্গুমেন্ট বের কর।
- খ)(2)
f(x)=0f(x)=0 বহুপদীর সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে ∑α3\sum \alpha^3 এর মান নির্ণয় কর।
- গ)(3)
zˉ=(a2+2)+ib\bar{z}=\left(a^2+2\right)+i b সমীকরণটির মূল aa এবং bb এর প্রকৃতি নিরূপণ কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, z = -2 + 2i
এখানে, বাস্তব অংশ x = -2 < 0 এবং কাল্পনিক অংশ y = 2 > 0।
যেহেতু বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং z এর মুখ্য আর্গুমেন্ট,
θ = π - tan⁻¹|y/x|
= π - tan⁻¹|2/(-2)|
= π - tan⁻¹(1)
= π - π/4
= 3π/4 (বা 135°)। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে বহুপদী সমীকরণ, f(x) = x³ + 2x² + x + 3 = 0
যার মূলত্রয় α, β, γ।
মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই:
α + β + γ = -2
αβ + βγ + γα = 1
αβγ = -3আমরা জানি,
α³ + β³ + γ³ - 3αβγ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - (αβ + βγ + γα))
বা, ∑α³ - 3αβγ = (α + β + γ){(α + β + γ)² - 3(αβ + βγ + γα)}
বা, ∑α³ = (α + β + γ){(α + β + γ)² - 3(αβ + βγ + γα)} + 3αβγমান বসিয়ে পাই:
∑α³ = (-2){(-2)² - 3(1)} + 3(-3)
= (-2){4 - 3} - 9
= (-2)(1) - 9
= -2 - 9 = -11।
অতএব, ∑α³ = -11। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, z = -2 + 2i
অতএব, z̄ = -2 - 2i
প্রশ্নমতে,
z̄ = (a² + 2) + ib
⇒ -2 - 2i = (a² + 2) + ibউভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:
a² + 2 = -2
⇒ a² = -4
⇒ a = ±√(-4) = ±2i
এবং b = -2প্রকৃতি নিরূপণ:
a এর মান কাল্পনিক বা জটিল (অবাস্তব) এবং b এর মান বাস্তব ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও