∫0π/4sin⁡2θsin⁡4θ+cos⁡4θdθ\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin 2 heta}{\sin^4 heta + \cos^4 heta} d heta এর মান কোনটি?

Question

∫0π/4sin⁡2θsin⁡4θ+cos⁡4θdθ\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin 2	heta}{\sin^4 	heta + \cos^4 	heta} d	heta এর মান কোনটি?

Accepted Answer

ঘ. π4\frac{\pi}{4}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলন:
$$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin 2	heta}{\sin^4 	heta + \cos^4 	heta} d	heta$$
লব ও হরকে $\cos^4 	heta$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\frac{\sin 2	heta}{\cos^4 	heta}}{\frac{\sin^4 	heta + \cos^4 	heta}{\cos^4 	heta}} d	heta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\frac{2\sin	heta\cos	heta}{\cos^4 	heta}}{	an^4 	heta + 1} d	heta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{2	an	heta \sec^2 	heta}{	an^4 	heta + 1} d	heta$$
ধরি, $u = 	an^2 	heta$
অতএব, $du = 2	an	heta \sec^2 	heta d	heta$
সীমা পরিবর্তন:
যখন $	heta = 0$, তখন $u = 	an^2 0 = 0$
যখন $	heta = \frac{\pi}{4}$, তখন $u = 	an^2 \left(\frac{\pi}{4}ight) = 1$

সুতরাং,
$$I = \int_{0}^{1} \frac{du}{u^2 + 1} = \left[ 	an^{-1}(u) ight]_{0}^{1} = 	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$
অতএব, সঠিক উত্তর অপশন 4।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন