উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে দৃশ্যকল্প-২ অনুপুস্থিত ছিল; রাজশাহী বোর্ড ২০২৩-এর মূল প্রশ্ন অনুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ হলো f(x) = 1/(1 + e^x) ধরে সমাধান প্রস্তুত করা হয়েছে।

   দেওয়া আছে,
   $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \cdot \sin^3 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \cdot (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$

   ধরি, $\cos x = z \implies -\sin x \, dx = dz \implies \sin x \, dx = -dz$
   সীমা:
   $x = 0$ হলে $z = 1$
   $x = \frac{\pi}{2}$ হলে $z = 0$

   $\therefore I = \int_{1}^{0} z^{1/2}(1 - z^2)(-dz) = \int_{0}^{1} (z^{1/2} - z^{5/2}) \, dz$
   $= \left[ \frac{2}{3}z^{3/2} - \frac{2}{7}z^{7/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1) - \frac{2}{7}(1) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$

   নির্ণেয় মান: $\frac{8}{21}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে দৃশ্যকল্প-২ অনুপুস্থিত ছিল; রাজশাহী বোর্ড ২০২৩-এর মূল প্রশ্ন অনুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ হলো f(x) = 1/(1 + e^x) ধরে সমাধান প্রস্তুত করা হয়েছে।

   উদ্দীপকে দৃশ্যকল্প-২ অনুপস্থিত থাকায় রাজশাহী বোর্ড ২০২৩-এর মূল প্রশ্নানুসারে ধরে নেওয়া হলো: $f(x) = \frac{1}{1 + e^x}$।

   নির্ণেয় সমাকলন:
   $I = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{1 + e^x} \, dx$
   $= \int \frac{(1 + e^x) - e^x}{1 + e^x} \, dx = \int \left( 1 - \frac{e^x}{1 + e^x} \right) dx$
   $= \int 1 \, dx - \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$
   $= x - \ln(1 + e^x) + c$
   (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)

   [বিকল্প রূপ: লব ও হরকে $e^{-x}$ দ্বারা গুণ করে পাই, $I = -\ln(1 + e^{-x}) + c$]

   নির্ণেয় মান: $x - \ln(1 + e^x) + c$

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে দৃশ্যকল্প-২ অনুপুস্থিত ছিল; রাজশাহী বোর্ড ২০২৩-এর মূল প্রশ্ন অনুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ হলো f(x) = 1/(1 + e^x) ধরে সমাধান প্রস্তুত করা হয়েছে।

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   সরলরেখার সমীকরণ: $y = 4x$ ... (i)
   পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y = x - x^2$ ... (ii)

   (i) ও (ii) সমাধান করে ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   $x - x^2 = 4x$
   $\implies x^2 + 3x = 0$
   $\implies x(x + 3) = 0$
   $\therefore x = 0, -3$

   $x = 0$ হলে $y = 0$ এবং $x = -3$ হলে $y = 4(-3) = -12$।
   সুতরাং ছেদবিন্দুদ্বয় $(0, 0)$ এবং $(-3, -12)$।

   $[-3, 0]$ ব্যবধিতে বক্ররেখাটি সরলরেখার উপরে অবস্থিত।
   অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{-3}^{0} [(x - x^2) - 4x] \, dx$
   $= \int_{-3}^{0} (-3x - x^2) \, dx$
   $= \left[ -\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-3}^{0}$
   $= 0 - \left[ -\frac{3}{2}(-3)^2 - \frac{1}{3}(-3)^3 \right]$
   $= - \left[ -\frac{27}{2} + 9 \right] = -\left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2} \text{ বা } 4.5 \text{ বর্গ একক}$

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: $\frac{9}{2}$ বর্গ একক বা $4.5$ বর্গ একক।