উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: p=x−5,x∈R \mathrm{p}=\mathrm{x}-5, \mathrm{x} \in \mathbb{R} .দৃশ্যকল্প-২: f=2x+3y,g=5x+3y f=2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}, \mathrm{g}=5 \mathrm{x}+3 \mathrm{y} যেখানে x,y∈R \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R} .
- ক)(2)
বাস্তব সংখ্যায় বিপরীতক এর অস্তিত্ব ব্যাখ্যা কর।
- খ)(4)
1∣p∣≥3 \frac{1}{|p|} \geq 3 হলে (x≠5) (x \neq 5) সমাধান সেট নির্ণয় করে সংখ্যারেখায় দেখাও।
- গ)(4)
দৃশ্যকল্প ২ এর আলোকে f≤12, g≥15 f \leq 12, \mathrm{~g} \geq 15 এবং x,y≥0 \mathrm{x}, \mathrm{y} \geq 0 হলে লেখচিত্রের মাধ্যমে সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি নির্বাচন কর। শর্তে কী পরিবর্তন করলে সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি চতুর্ভুজ হবে?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
বাস্তব সংখ্যার সেটে যোগ এবং গুণ উভয় প্রক্রিয়ার জন্যই বিপরীতকের অস্তিত্ব বিদ্যমান:
১. যোগাত্মক বিপরীতক (Additive Inverse): যেকোনো বাস্তব সংখ্যা a ∈ ℝ এর জন্য এমন একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা (-a) ∈ ℝ বিদ্যমান থাকে যেন a + (-a) = (-a) + a = 0 (যেখানে 0 হলো যোগাত্মক অভেদক)। সুতরাং, a-এর যোগাত্মক বিপরীতক হলো -a।
২. গুণাত্মক বিপরীতক (Multiplicative Inverse): যেকোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা a ∈ ℝ (a ≠ 0) এর জন্য এমন একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা 1/a ∈ ℝ বিদ্যমান থাকে যেন a · (1/a) = (1/a) · a = 1 (যেখানে 1 হলো গুণাত্মক অভেদক)। সুতরাং, a-এর গুণাত্মক বিপরীতক হলো 1/a বা a⁻¹। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, p = x - 5 এবং 1/|p| ≥ 3, যেখানে x ≠ 5।
বা, 1/|x - 5| ≥ 3
যেহেতু x ≠ 5, তাই |x - 5| > 0। উভয় পক্ষে ব্যস্তকরণ করে পাই,
|x - 5| ≤ 1/3
বা, -1/3 ≤ x - 5 ≤ 1/3
উভয় পক্ষে 5 যোগ করে পাই,
5 - 1/3 ≤ x ≤ 5 + 1/3
বা, 14/3 ≤ x ≤ 16/3
কিন্তু শর্তমতে x ≠ 5।
অতএব, নির্ণেয় সমাধান সেট:
S = {x ∈ ℝ : 14/3 ≤ x ≤ 16/3 এবং x ≠ 5}
বা ব্যবধিতে, S = [14/3, 5) ∪ (5, 16/3]সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:
সংখ্যারেখায় 14/3 এবং 16/3 বিন্দু দুটি ভরাট বৃত্ত (solid circle) দিয়ে চিহ্নিত হবে, এবং মাঝের 5 বিন্দুটিতে ফাঁকা বৃত্ত (open circle) থাকবে। 14/3 থেকে 5 পর্যন্ত এবং 5 থেকে 16/3 পর্যন্ত অংশটি গাঢ় রেখা দ্বারা চিহ্নিত করা হলো:
<---|---●==========○==========●---|--->
0 14/3 5 16/3 - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-২ হতে অসমতাগুলো হলো:
f ≤ 12 ⇒ 2x + 3y ≤ 12 ... (i)
g ≥ 15 ⇒ 5x + 3y ≥ 15 ... (ii)
এবং অঋণাত্মক শর্ত: x ≥ 0, y ≥ 0 ... (iii)সমীকরণ আকারে পাই:
2x + 3y = 12 ⇒ x/6 + y/4 = 1 ... (iv)
সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে A(6, 0) ও B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
5x + 3y = 15 ⇒ x/3 + y/5 = 1 ... (v)
সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে C(3, 0) ও D(0, 5) বিন্দুতে ছেদ করে।(iv) ও (v) এর ছেদবিন্দু নির্ণয়:
(ii) - (i) করে পাই, 3x = 3 ⇒ x = 1
সুতরাং, 2(1) + 3y = 12 ⇒ 3y = 10 ⇒ y = 10/3
অতএব, ছেদবিন্দু E(1, 10/3)।মূলবিন্দু (0, 0) দ্বারা যাচাই:
(i) নং এ (0, 0) বসালে 0 ≤ 12, যা সত্য। সুতরাং সমাধান এলাকা মূলবিন্দুর দিকে।
(ii) নং এ (0, 0) বসালে 0 ≥ 15, যা মিথ্যা। সুতরাং সমাধান এলাকা মূলবিন্দুর বিপরীত দিকে।
x ≥ 0, y ≥ 0 প্রথম চতুর্ভাগ নির্দেশ করে।লেখচিত্রের মাধ্যমে সাধারণ সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি হলো ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র ACE, যার শীর্ষবিন্দুগুলো C(3, 0), A(6, 0) এবং E(1, 10/3)।
শর্তে পরিবর্তন:
যদি অসমতাটিতে g ≥ 15 এর পরিবর্তে g ≤ 15 (অর্থাৎ 5x + 3y ≤ 15) নেওয়া হয়, তবে প্রথম চতুর্ভাগে সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি মূলবিন্দুসহ O(0, 0), C(3, 0), E(1, 10/3) এবং B(0, 4) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্র OCEB হবে।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও