উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:
   (a - 1)x^2 + (a + 2)x + 4 = 0

   সমীকরণটি দ্বিঘাত হওয়ার শর্তমতে, a - 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ 1।

   সমীকরণটির নিশ্চায়ক (Discriminant),
   D = B^2 - 4AC
   = (a + 2)^2 - 4(a - 1)(4)
   = a^2 + 4a + 4 - 16(a - 1)
   = a^2 + 4a + 4 - 16a + 16
   = a^2 - 12a + 20

   সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি এবং কেবল যদি নিশ্চায়ক শূন্য হয়, অর্থাৎ D = 0 হয়।
   অতএব,
   a^2 - 12a + 20 = 0
   ⇒ a^2 - 10a - 2a + 20 = 0
   ⇒ a(a - 10) - 2(a - 10) = 0
   ⇒ (a - 2)(a - 10) = 0

   সুতরাং, a = 2 অথবা a = 10।

   যেহেতু উভয় মানই a ≠ 1 শর্ত পূরণ করে, তাই a এর নির্ণেয় মান 2 অথবা 10।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   x^2 - 2x + b = 0 ....... (১)
   x^2 - bx + 2 = 0 ....... (২)

   ধরি, (১) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।
   অতএব,
   α + β = -(-2)/1 = 2
   αβ = b

   (১) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্যের বর্গ,
   (α - β)^2 = (α + β)^2 - 4αβ
   = 2^2 - 4b
   = 4 - 4b

   আবার, ধরি (২) নং সমীকরণের মূলদ্বয় γ ও δ।
   অতএব,
   γ + δ = -(-b)/1 = b
   γδ = 2

   (২) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্যের বর্গ,
   (γ - δ)^2 = (γ + δ)^2 - 4γδ
   = b^2 - 4(2)
   = b^2 - 8

   প্রশ্নমতে, উভয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি (ধরি, k)।
   অর্থাৎ, |α - β| = |γ - δ| = k
   বর্গ করে পাই,
   (α - β)^2 = (γ - δ)^2
   ⇒ 4 - 4b = b^2 - 8
   ⇒ b^2 + 4b - 8 - 4 = 0
   ⇒ b^2 + 4b - 12 = 0 (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 22x + 12 = 0 ....... (১)

   যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা এবং এর একটি মূল 1 + i,
   সুতরাং অপর একটি মূল এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা 1 - i হবে।

   উক্ত মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত রাশি:
   [x - (1 + i)][x - (1 - i)] = 0
   ⇒ {(x - 1) - i}{(x - 1) + i} = 0
   ⇒ (x - 1)^2 - i^2 = 0
   ⇒ x^2 - 2x + 1 - (-1) = 0
   ⇒ x^2 - 2x + 2 = 0

   অতএব, (x^2 - 2x + 2) রাশিটি (১) নং সমীকরণের বামপক্ষের একটি উৎপাদক।

   এখন, (১) নং সমীকরণটির বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
   x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 22x + 12 = 0
   ⇒ x^2(x^2 - 2x + 2) - 5x(x^2 - 2x + 2) + 6(x^2 - 2x + 2) = 0
   ⇒ (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0

   হয়, x^2 - 2x + 2 = 0
   অথবা, x^2 - 5x + 6 = 0

   x^2 - 5x + 6 = 0 সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
   ⇒ x^2 - 3x - 2x + 6 = 0
   ⇒ x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
   ⇒ (x - 2)(x - 3) = 0
   ⇒ x = 2, 3

   এবং x^2 - 2x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হলো 1 ± i।

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x = 2, 3, 1 ± i।