∫01cos⁡−1x1−x2 dx\int_0^1 \frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx এর মান কত?

Question

∫01cos⁡−1x1−x2 dx\int_0^1 \frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx এর মান কত?

Accepted Answer

ক. π28\frac{\pi^2}{8}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_0^1 \frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$

ধরি, $u = \cos^{-1} x$
সুতরাং, $du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = -du$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $u = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$
যখন $x = 1$, তখন $u = \cos^{-1}(1) = 0$

অতএব,
$$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 u (-du) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 - 0 = \frac{\pi^2}{8}$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো বিকল্প ১।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন