উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(৩) রেখাত্রয়: $x=1$, $y=x-2$ এবং পরাবৃত্ত $y^2=x$।

ছেদবিন্দু নির্ণয়: $y=x-2$ ও $y^2=x$ থেকে $(x-2)^2=x\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1,4$। ছেদবিন্দু $(1,-1)$ ও $(4,2)$।

$x=1$ রেখা পরাবৃত্তকে $(1,\pm1)$ এ ছেদ করে। ফলে আবদ্ধ ক্ষেত্রটি $x=1$ থেকে $x=4$ পর্যন্ত; উপরে পরাবৃত্তের শাখা $y=\sqrt{x}$ এবং নিচে সরলরেখা $y=x-2$ ($1\le x\le4$ এ $\sqrt{x}\ge x-2$)।

ক্ষেত্রফল $=\displaystyle\int_1^4\left(\sqrt{x}-(x-2)\right)dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^2}{2}+2x\right]_1^4$

$x=4$ এ: $\frac23\cdot8-8+8=\frac{16}{3}$

$x=1$ এ: $\frac23-\frac12+2=\frac{13}{6}$

ক্ষেত্রফল $=\frac{16}{3}-\frac{13}{6}=\frac{32-13}{6}$

ক্ষেত্রফল $=\dfrac{19}{6}$ বর্গ একক