উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বল দুইটি $P$ ও $Q$ এবং $P > Q$।
   শর্তানুসারে, বৃহত্তম লব্ধি $R_{\max} = P + Q$ এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি $R_{\min} = P - Q$।
   প্রশ্নমতে,
   $P + Q = 2(P - Q)$
   বা, $P + Q = 2P - 2Q$
   বা, $2P - P = Q + 2Q$
   বা, $P = 3Q$
   বা, $\frac{P}{Q} = \frac{3}{1}$
   অতএব, বল দুইটির অনুপাত $3:1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $3\text{ N}$ বলটি ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর ক্রিয়ারত।
   তাহলে বল তিনটির কোণ যথাক্রমে $0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$।
   $x$-অক্ষ বরাবর বলগুলোর উপাংশের যোগফল,
   $X = 3\cos 0^\circ + 4\cos 120^\circ + 6\cos 240^\circ$
   $X = 3(1) + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 6\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 - 2 - 3 = -2\text{ N}$

   $y$-অক্ষ বরাবর বলগুলোর উপাংশের যোগফল,
   $Y = 3\sin 0^\circ + 4\sin 120^\circ + 6\sin 240^\circ$
   $Y = 3(0) + 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}\text{ N}$

   অতএব, লব্ধির মান $R = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}\text{ N}$।

   যদি লব্ধি প্রথম বলটির সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করে, তবে:
   $\tan\theta = \frac{Y}{X} = \frac{-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   যেহেতু $X < 0$ এবং $Y < 0$, তাই $\theta = 180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।
   অতএব, লব্ধির মান $\sqrt{7}\text{ N}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $LM = d$। $L$ বিন্দুতে $16\text{ N}$ এবং $M$ বিন্দুতে $12\text{ N}$ মানের দুটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে।
   লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে,
   $16 \times LC = 12 \times MC$
   বা, $16 \times LC = 12 \times (LM - LC) = 12(d - LC)$
   বা, $16 LC + 12 LC = 12d$
   বা, $28 LC = 12d \implies LC = \frac{12}{28}d = \frac{3}{7}d = \frac{3}{7}LM$

   এখন, বলদ্বয় পরস্পর স্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ $L$ বিন্দুতে $12\text{ N}$ এবং $M$ বিন্দুতে $16\text{ N}$ ক্রিয়া করলে নতুন লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হয়।
   তখন, $12 \times LC' = 16 \times MC' = 16(d - LC')$
   বা, $28 LC' = 16d \implies LC' = \frac{16}{28}d = \frac{4}{7}d = \frac{4}{7}LM$

   অতএব, লব্ধির সরণ:
   $CC' = LC' - LC = \frac{4}{7}LM - \frac{3}{7}LM = \frac{1}{7}LM$
   অর্থাৎ লব্ধির সরণ হবে $LM$ রেখাংশের $\frac{1}{7}$ অংশ (বা $\frac{1}{7}LM$ একক)।