গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \mathbf{\sqrt{3}}$ বর্গ সে.মি. $\approx 1.73$ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ চাপের উপর $\angle ACB$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ADB$ বৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle ACB$।

   অঙ্কন: $D$ ও $C$ যুক্ত করে $E'$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

   প্রমাণ: $\triangle ACD$ এ $CA = CD$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle CAD = \angle CDA$।
   বহিঃস্থ কোণ $\angle ACE' = \angle CAD + \angle CDA = 2\angle CDA$ ...... (১)
   একইভাবে $\triangle BCD$ এ $\angle BCE' = 2\angle CDB$ ...... (২)
   (১) ও (২) যোগ করে, $\angle ACE' + \angle BCE' = 2(\angle CDA + \angle CDB)$
   বা, $\angle ACB = 2\angle ADB$

   সুতরাং $\angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle ACB$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $ADBE$ বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ, যার $\angle ADB$ ও $\angle AEB$ বিপরীত কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ADB + \angle AEB = 2$ সমকোণ।

   প্রমাণ: কেন্দ্র $C$ এ $AB$ চাপের (যাতে $D$ নেই) উপর $\angle ACB$ এবং $D$ বিন্দুতে বৃত্তস্থ কোণ $\angle ADB$। আগের প্রমাণ অনুযায়ী $\angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle ACB$ ...... (১)

   আবার, $AB$ চাপের অপর অংশ ($D$ বিপরীত দিকের চাপ) এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ কোণ $= 360^\circ - \angle ACB$ এবং এর উপর বৃত্তস্থ কোণ $\angle AEB$।
   তাহলে $\angle AEB = \dfrac{1}{2}(360^\circ - \angle ACB)$ ...... (২)

   (১) ও (২) যোগ করে,
   $\angle ADB + \angle AEB = \dfrac{1}{2}\angle ACB + \dfrac{1}{2}(360^\circ - \angle ACB) = \dfrac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ = 2$ সমকোণ।

   সুতরাং $\angle ADB + \angle AEB = 2$ সমকোণ। (প্রমাণিত)