উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   লিবে পদ্ধতি (Integration by parts) প্রয়োগ করে পাই:
   $\int x \ln 2x \, dx = \ln 2x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln 2x) \int x \, dx \right) dx$
   $= \ln 2x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx$
   $= \frac{x^2}{2} \ln 2x - \int \frac{x}{2} \, dx$
   $= \frac{x^2}{2} \ln 2x - \frac{x^2}{4} + c$
   $= \frac{x^2}{4} (2\ln 2x - 1) + c$
   (যেখানে $c$ একটি যোগজীকরণ ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2\sqrt{16 - x^2}$
   যেহেতু $f(-x) = (-x)^2\sqrt{16 - (-x)^2} = x^2\sqrt{16 - x^2} = f(x)$, তাই $f(x)$ একটি যুগল (even) ফাংশন।

   সুতরাং,
   $I = \int_{-2}^{2} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2} x^2\sqrt{16 - x^2} \, dx$

   ধরি, $x = 4\sin\theta \implies dx = 4\cos\theta \, d\theta$
   যখন $x = 0$, তখন $\theta = 0$
   যখন $x = 2$, তখন $2 = 4\sin\theta \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$

   অতএব,
   $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (16\sin^2\theta) \sqrt{16 - 16\sin^2\theta} \cdot (4\cos\theta \, d\theta)$
   $= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 16\sin^2\theta \cdot (4\cos\theta) \cdot (4\cos\theta \, d\theta)$
   $= 2 \times 256 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2\theta \cos^2\theta \, d\theta = 512 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4}(2\sin\theta\cos\theta)^2 d\theta$
   $= 128 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2\theta \, d\theta = 128 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \, d\theta$
   $= 64 \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$
   $= 64 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sin(2\pi/3)}{4} \right) = 64 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4} \right)$
   $= 64 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{32\pi}{3} - 8\sqrt{3}$

   অতএব, নির্ণেয় মান $\frac{32\pi}{3} - 8\sqrt{3}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = y^2 - 8x = 0 \implies y^2 = 8x$ ...(i)
   $h(x) = x^2 - 8y = 0 \implies x^2 = 8y \implies y = \frac{x^2}{8}$ ...(ii)

   (ii) নং হতে $y$-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই:
   $\left(\frac{x^2}{8}\right)^2 = 8x \implies \frac{x^4}{64} = 8x \implies x^4 = 512x$
   $\implies x(x^3 - 512) = 0$
   $\implies x = 0 \quad \text{অথবা} \quad x^3 = 512 = 8^3 \implies x = 8$

   অতএব, পরাবৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুদ্বয়ের ভুজ $x = 0$ এবং $x = 8$।

   সুতরাং, পরাবৃত্তদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{0}^{8} (y_1 - y_2) \, dx = \int_{0}^{8} \left( \sqrt{8x} - \frac{x^2}{8} \right) dx$
   $= \int_{0}^{8} \left( 2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - \frac{1}{8}x^2 \right) dx$
   $= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{8}$
   $= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 8^{3/2} - \frac{1}{24} \cdot 8^3 \right] - [0]$

   যেহেতু $8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 16\sqrt{2}$:
   $A = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - \frac{512}{24}$
   $= \frac{4 \cdot 16 \cdot 2}{3} - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} - \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \text{ বর্গ একক।}$

   অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{64}{3}$ বর্গ একক।