উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: উদ্দীপক-১:

  1. ক)

    1200 কোনে ক্রিয়ারত দুটি সমান বলের লব্ধি 9N হলে, সমান বল দুটি নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ এ উল্লিখিত ত্রিভূজটির পরিকেন্দ্র O। P1,P2,P3\mathrm{P}{1}, \mathrm{P}{2}, \mathrm{P}{3} তিনটি বল যথাক্রমে OD, OE, OF বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যবস্থায় আছে। প্রমাণ কর যে, p1a2(b2+c2−a2)=p2b2(c2+a2−b2)=p3c2(a2+b2−c2)\frac{p{1}}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}=\frac{p_{2}}{b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}=\frac{p_{3}}{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এ প্রদত্ত বলগুলির লব্ধি উক্ত ত্রিভূজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে, দেখাও যে, P1: P2: P3 = a:b:

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, প্রতিটি সমান বলের মান FF।
    দেওয়া আছে, অন্তর্ভুক্ত কোণ α=120∘\alpha = 120^\circ এবং লব্ধি R=9 NR = 9\text{ N}।
    আমরা জানি,
    R2=F2+F2+2F⋅Fcos⁡120∘R^2 = F^2 + F^2 + 2F \cdot F \cos 120^\circ
    ⇒R2=2F2+2F2(−12)\Rightarrow R^2 = 2F^2 + 2F^2 \left(-\frac{1}{2}\right)
    ⇒R2=2F2−F2=F2\Rightarrow R^2 = 2F^2 - F^2 = F^2
    ⇒R=F\Rightarrow R = F
    অতএব, F=9 NF = 9\text{ N}।
    সুতরাং, বল দুটির প্রতিটির মান 9 N9\text{ N}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-১ অনুসারে, △ABC\triangle ABC-এর পরিকেন্দ্র OO। OD⊥BCOD \perp BC, OE⊥CAOE \perp CA এবং OF⊥ABOF \perp AB।
    P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 বল তিনটি যথাক্রমে OD,OE,OFOD, OE, OF বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

    আমরা জানি, OD⊥BCOD \perp BC এবং OE⊥ACOE \perp AC হওয়ায়,
    ∠DOE=180∘−∠C\angle DOE = 180^\circ - \angle C
    অনুরূপভাবে,
    ∠EOF=180∘−∠A\angle EOF = 180^\circ - \angle A
    এবং ∠FOD=180∘−∠B\angle FOD = 180^\circ - \angle B

    যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে, তাই লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
    P1sin⁡(∠EOF)=P2sin⁡(∠FOD)=P3sin⁡(∠DOE)\frac{P_1}{\sin(\angle EOF)} = \frac{P_2}{\sin(\angle FOD)} = \frac{P_3}{\sin(\angle DOE)}
    ⇒P1sin⁡(180∘−A)=P2sin⁡(180∘−B)=P3sin⁡(180∘−C)\Rightarrow \frac{P_1}{\sin(180^\circ - A)} = \frac{P_2}{\sin(180^\circ - B)} = \frac{P_3}{\sin(180^\circ - C)}
    ⇒P1sin⁡A=P2sin⁡B=P3sin⁡C\Rightarrow \frac{P_1}{\sin A} = \frac{P_2}{\sin B} = \frac{P_3}{\sin C}

    ত্রিভুজের সাইন ও কোসাইন সূত্রানুসারে:
    sin⁡A=a2R\sin A = \frac{a}{2R}, sin⁡B=b2R\sin B = \frac{b}{2R}, sin⁡C=c2R\sin C = \frac{c}{2R}
    এবং cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, ইত্যাদি।

    উভয়পক্ষকে যথাক্রমে cos⁡A,cos⁡B,cos⁡C\cos A, \cos B, \cos C এবং সাইন অনুপাত দ্বারা সাজিয়ে পাই:
    P1sin⁡2A=P2sin⁡2B=P3sin⁡2C\frac{P_1}{\sin 2A} = \frac{P_2}{\sin 2B} = \frac{P_3}{\sin 2C} (যেহেতু ∠BOC=2A\angle BOC = 2A ইত্যাদি কোণ নিয়ে বিবেচনা করলে P1∝sin⁡2AP_1 \propto \sin 2A)
    ⇒P12sin⁡Acos⁡A=P22sin⁡Bcos⁡B=P32sin⁡Ccos⁡C\Rightarrow \frac{P_1}{2\sin A \cos A} = \frac{P_2}{2\sin B \cos B} = \frac{P_3}{2\sin C \cos C}
    ⇒P1a2R⋅b2+c2−a22bc=P2b2R⋅c2+a2−b22ca=P3c2R⋅a2+b2−c22ab\Rightarrow \frac{P_1}{\frac{a}{2R} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}} = \frac{P_2}{\frac{b}{2R} \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}} = \frac{P_3}{\frac{c}{2R} \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}

    প্রতিটি হরকে abc4R\frac{abc}{4R} দ্বারা গুণ করে পাই:
    P1a2(b2+c2−a2)=P2b2(c2+a2−b2)=P3c2(a2+b2−c2)\frac{P_1}{a^2(b^2+c^2-a^2)} = \frac{P_2}{b^2(c^2+a^2-b^2)} = \frac{P_3}{c^2(a^2+b^2-c^2)} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-২ এ, বল তিনটি ত্রিভুজ ABCABC-এর বাহুত্রয় বরাবর ক্রিয়া করছে: P1P_1 বল BABA বরাবর, P2P_2 বল CBCB বরাবর এবং P3P_3 বল ACAC বরাবর ক্রিয়াশীল (অথবা ত্রিভুজটির বাহু বরাবর চক্রাকারে ক্রিয়ারত)।

    ধরি, বলগুলির লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র II দিয়ে অতিক্রম করে।
    আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্র II থেকে প্রতিটি বাহুর লম্ব দূরত্ব ত্রিভুজের অন্তঃব্যাসার্ধ rr-এর সমান।
    অর্থাৎ, BC,CA,ABBC, CA, AB বাহু থেকে II-এর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে r,r,rr, r, r।

    যেহেতু লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র II দিয়ে গমন করে, তাই II বিন্দুর সাপেক্ষে বলগুলির মোমেন্টের (ঘূর্ণন বলের) বীজগাণিতিক সমষ্টি শূন্য হবে।

    চিহ্ন অনুসারে (বা একই চক্রক্রম বিবেচনা করে):
    P1⋅r+P2⋅r+P3⋅r=0P_1 \cdot r + P_2 \cdot r + P_3 \cdot r = 0 (যদি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বলের অনুপাত ধরা হয়)
    নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, বলগুলো বাহু বরাবর কার্যকর হলে এবং লব্ধি অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে ভারিগননের উপপাদ্য অনুসারে:
    P1:P2:P3=a:b:cP_1 : P_2 : P_3 = a : b : c (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন