উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: একটি ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল 2−3−1 2-3 \sqrt{-1} এবং মূলগুলোর গুণফল 65 ।দৃশ্যকল্প-২: lx2+mx+m=0 l x^{2}+m x+m=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত a:b a: b .

  1. ক)

    (m−1)x2−(m+1)x+2=0,m (m-1) x^{2}-(m+1) x+2=0, m এর মান কত হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলো সমান হবে?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, ab+ba+ml=0 \sqrt{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{l}}=0

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: (m−1)x2−(m+1)x+2=0(m-1)x^2 - (m+1)x + 2 = 0
    মূলগুলো সমান হওয়ার শর্ত হলো সমীকরণটির নিশ্চয়ক বা পৃথায়ক শূন্য হবে, অর্থাৎ D=0D = 0।
    এখানে, D=[−(m+1)]2−4(m−1)(2)=0D = [-(m+1)]^2 - 4(m-1)(2) = 0
    বা, (m+1)2−8(m−1)=0(m+1)^2 - 8(m-1) = 0
    বা, m2+2m+1−8m+8=0m^2 + 2m + 1 - 8m + 8 = 0
    বা, m2−6m+9=0m^2 - 6m + 9 = 0
    বা, (m−3)2=0(m-3)^2 = 0
    বা, m−3=0m - 3 = 0
    ∴m=3\therefore m = 3

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল 2−3−1=2−3i2 - 3\sqrt{-1} = 2 - 3i।
    বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগল হিসেবে থাকে।
    কাজেই, অপর একটি মূল হবে 2+3i2 + 3i।
    ধরি, সমীকরণটির তৃতীয় মূলটি γ\gamma।

    শর্তানুসারে, মূল তিনটির গুণফল =65= 65
    ∴(2−3i)(2+3i)×γ=65\therefore (2 - 3i)(2 + 3i) \times \gamma = 65
    বা, (22−9i2)γ=65(2^2 - 9i^2) \gamma = 65
    বা, (4+9)γ=65(4 + 9) \gamma = 65
    বা, 13γ=6513\gamma = 65
    বা, γ=5\gamma = 5

    মূলগুলোর যোগফল =(2−3i)+(2+3i)+5=4+5=9= (2 - 3i) + (2 + 3i) + 5 = 4 + 5 = 9
    দুইটি করে মূলের গুণফলের যোগফল:
    =(2−3i)(2+3i)+5(2−3i)+5(2+3i)= (2 - 3i)(2 + 3i) + 5(2 - 3i) + 5(2 + 3i)
    =13+5(2−3i+2+3i)= 13 + 5(2 - 3i + 2 + 3i)
    =13+5(4)=13+20=33= 13 + 5(4) = 13 + 20 = 33

    মূল তিনটির গুণফল =65= 65

    সুতরাং, নির্ণেয় ত্রিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x3−(মূলত্রয়ের যোগফল)x2+(দুইটি করে মূলের গুণফলের সমষ্টি)x−(মূলত্রয়ের গুণফল)=0x^3 - (\text{মূলত্রয়ের যোগফল})x^2 + (\text{দুইটি করে মূলের গুণফলের সমষ্টি})x - (\text{মূলত্রয়ের গুণফল}) = 0
    বা, x3−9x2+33x−65=0x^3 - 9x^2 + 33x - 65 = 0

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: lx2+mx+m=0lx^2 + mx + m = 0
    ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta।
    প্রশ্নমতে, αβ=ab\frac{\alpha}{\beta} = \frac{a}{b}

    মূলদ্বয়ের যোগফল, α+β=−ml\alpha + \beta = -\frac{m}{l}
    মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ=ml\alpha\beta = \frac{m}{l}

    বামপক্ষ =ab+ba+ml= \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{m}{l}}
    =αβ+βα+ml= \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\frac{m}{l}}
    =αβ+βα+ml= \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} + \sqrt{\frac{m}{l}}
    =α+βαβ+ml= \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\frac{m}{l}}

    এখন, α+β=−ml\alpha + \beta = -\frac{m}{l} এবং αβ=ml\alpha\beta = \frac{m}{l} বসিয়ে পাই:
    =−mlml+ml= \frac{-\frac{m}{l}}{\sqrt{\frac{m}{l}}} + \sqrt{\frac{m}{l}}
    =−ml+ml= -\sqrt{\frac{m}{l}} + \sqrt{\frac{m}{l}}
    =0=ডানপক্ষ= 0 = \text{ডানপক্ষ}
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন