উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • ঢাকা, যশোর, সিলেট, দিনাজপুর বোর্ড ২০১৮
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: f(x)=3x2+5x দৃশ্যকল্প-২: B=[ℓmnℓ2 m2n2ℓ3−1 m3−1n3−1] \begin{array}{l}\text { দৃশ্যকল্প-১: } \mathrm{f}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x} \ \text { দৃশ্যকল্প-২: } \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}\ell & \mathrm{m} & \mathrm{n} \ \ell^{2} & \mathrm{~m}^{2} & \mathrm{n}^{2} \ \ell^{3}-1 & \mathrm{~m}^{3}-1 & \mathrm{n}^{3}-1\end{array}\right]\end{array}
- ক)(1)
যদি (x2x2) \left(\begin{array}{ll}x & 2 \ x & 2\end{array}\right) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয় তবে x x এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(2)
A=(215−1434−75) \mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \ -1 & 4 & 3 \ 4 & -7 & 5\end{array}\right) হলে f(A) \mathrm{f}(\mathrm{A}) নির্ণয় কর।
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে,∣B∣=(ℓmn−1)(ℓ−m)(m−n)(n−ℓ). |\mathrm{B}|=(\ell \mathrm{mn}-1)(\ell-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-\ell) .
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
অতএব,
|x 2|
|x 2| = 0
বা, 2x - 2x = 0
বা, 0 = 0
উক্ত সমীকরণটি x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই সত্য।
সুতরাং, x এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (x ∈ ℝ)। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, f(x) = 3x² + 5x এবং
A =
[ 2 1 5]
[-1 4 3]
[ 4 -7 5]অতএব, f(A) = 3A² + 5A
এখন,
A² = A × A
= [ 2 1 5] [ 2 1 5]
[-1 4 3] [-1 4 3]
[ 4 -7 5] [ 4 -7 5]= [ (4 - 1 + 20) (2 + 4 - 35) (10 + 3 + 25) ]
[ (-2 - 4 + 12) (-1 + 16 - 21) (-5 + 12 + 15) ]
[ (8 + 7 + 20) (4 - 28 - 35) (20 - 21 + 25) ]= [ 23 -29 38 ]
[ 6 -6 22 ]
[ 35 -59 24 ]সুতরাং,
3A² = 3 × [ 23 -29 38 ]
[ 6 -6 22 ]
[ 35 -59 24 ]
= [ 69 -87 114 ]
[ 18 -18 66 ]
[ 105 -177 72 ]এবং
5A = 5 × [ 2 1 5]
[-1 4 3]
[ 4 -7 5]
= [ 10 5 25]
[-5 20 15]
[ 20 -35 25]অতএব,
f(A) = 3A² + 5A
= [ 69 -87 114 ] + [ 10 5 25]
[ 18 -18 66 ] [-5 20 15]
[ 105 -177 72 ] [ 20 -35 25]= [ 79 -82 139 ] [ 13 2 81 ] [ 125 -212 97 ] - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
B =
[ ℓ m n ]
[ ℓ² m² n² ]
[ ℓ³ - 1 m³ - 1 n³ - 1]অতএব,
|B| =
| ℓ m n |
| ℓ² m² n² |
| ℓ³ - 1 m³ - 1 n³ - 1|নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে,
|B| =
| ℓ m n | | ℓ m n |
| ℓ² m² n²| - | ℓ² m² n²|
| ℓ³ m³ n³| | 1 1 1 |প্রথম নির্ণায়কের প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম থেকে যথাক্রমে ℓ, m, n সাধারণ নিয়ে:
= ℓmn | 1 1 1 | | ℓ m n |
| ℓ m n | - | ℓ² m² n²|
| ℓ² m² n²| | 1 1 1 |দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারি পরিবর্তন করে (R₃ কে R₁-এ আনতে দুটি সারি স্থানান্তর, ফলে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে):
= ℓmn | 1 1 1 | | 1 1 1 |
| ℓ m n | - | ℓ m n |
| ℓ² m² n²| | ℓ² m² n²|= (ℓmn - 1) | 1 1 1 |
| ℓ m n |
| ℓ² m² n²|এখন, C'₁ = C₁ - C₂ এবং C'₂ = C₂ - C₃ প্রয়োগ করে পাই:
= (ℓmn - 1) | 0 0 1 |
| ℓ - m m - n n |
| ℓ² - m² m² - n² n² |প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই:
= (ℓmn - 1) · 1 · [ (ℓ - m)(m² - n²) - (m - n)(ℓ² - m²) ]
= (ℓmn - 1) · (ℓ - m)(m - n) · [ (m + n) - (ℓ + m) ]
= (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(m + n - ℓ - m)
= (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(n - ℓ)অতএব, |B| = (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(n - ℓ) (প্রমাণিত)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও