উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    প্রমাণ কর: sin⁡78∘19′cos⁡18∘19′−sin⁡11∘41′sin⁡18∘19′=32\sin 78^{\circ} 19^{\prime} \cos 18^{\circ} 19^{\prime}-\sin 11^{\circ} 41^{\prime} \sin 18^{\circ} 19^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    (2)
  2. খ)

    a=b2+bc+c2a=\sqrt{b^2+b c+c^2} হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a−bccosec⁡A−B2=sec⁡c2\frac{a-b}{c} \operatorname{cosec} \frac{A-B}{2}=\sec \frac{c}{2}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ
    =sin⁡78∘19′cos⁡18∘19′−sin⁡11∘41′sin⁡18∘19′= \sin 78^{\circ} 19^{\prime} \cos 18^{\circ} 19^{\prime} - \sin 11^{\circ} 41^{\prime} \sin 18^{\circ} 19^{\prime}
    =sin⁡78∘19′cos⁡18∘19′−sin⁡(90∘−78∘19′)sin⁡18∘19′= \sin 78^{\circ} 19^{\prime} \cos 18^{\circ} 19^{\prime} - \sin(90^{\circ} - 78^{\circ} 19^{\prime}) \sin 18^{\circ} 19^{\prime}
    =sin⁡78∘19′cos⁡18∘19′−cos⁡78∘19′sin⁡18∘19′= \sin 78^{\circ} 19^{\prime} \cos 18^{\circ} 19^{\prime} - \cos 78^{\circ} 19^{\prime} \sin 18^{\circ} 19^{\prime}
    =sin⁡(78∘19′−18∘19′)= \sin(78^{\circ} 19^{\prime} - 18^{\circ} 19^{\prime})
    =sin⁡60∘= \sin 60^{\circ}
    =32= \frac{\sqrt{3}}{2}
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, a=b2+bc+c2a = \sqrt{b^2 + bc + c^2}
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    a2=b2+bc+c2a^2 = b^2 + bc + c^2
    বা, b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc

    আমরা জানি, ত্রিভুজ ABCABC-এর ক্ষেত্রে কোসাইনের সূত্রানুসারে,
    cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
    বা, cos⁡A=−bc2bc=−12\cos A = \frac{-bc}{2bc} = -\frac{1}{2}
    বা, cos⁡A=cos⁡120∘\cos A = \cos 120^{\circ}
    ∴A=120∘\therefore A = 120^{\circ}

    যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ A=120∘>90∘A = 120^{\circ} > 90^{\circ}, তাই অপর দুটি কোণ BB এবং CC প্রত্যেকেই সূক্ষ্মকোণ।
    আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°,
    অর্থাৎ, A+B+C=180∘A + B + C = 180^{\circ}
    বা, 120∘+B+C=180∘120^{\circ} + B + C = 180^{\circ}
    ∴B+C=180∘−120∘=60∘\therefore B + C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}

    অতএব, ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 60∘60^{\circ}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক অনুসারে ত্রিভুজটির বাহু তিনটি a,b,ca, b, c এবং এদের বিপরীত কোণগুলো যথাক্রমে A,B,CA, B, C।
    সাইন সূত্রানুসারে আমরা পাই,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
      ⟹  a=2Rsin⁡A,b=2Rsin⁡B,c=2Rsin⁡C\implies a = 2R\sin A, \quad b = 2R\sin B, \quad c = 2R\sin C

    এখন, বামপক্ষ:
    =a−bccosec⁡A−B2= \frac{a - b}{c} \operatorname{cosec}\frac{A - B}{2}
    =2Rsin⁡A−2Rsin⁡B2Rsin⁡C⋅1sin⁡A−B2= \frac{2R\sin A - 2R\sin B}{2R\sin C} \cdot \frac{1}{\sin\frac{A - B}{2}}
    =sin⁡A−sin⁡Bsin⁡C⋅1sin⁡A−B2= \frac{\sin A - \sin B}{\sin C} \cdot \frac{1}{\sin\frac{A - B}{2}}
    =2cos⁡A+B2sin⁡A−B22sin⁡C2cos⁡C2⋅1sin⁡A−B2= \frac{2\cos\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}}{2\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} \cdot \frac{1}{\sin\frac{A - B}{2}}
    =cos⁡A+B2sin⁡C2cos⁡C2= \frac{\cos\frac{A + B}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}}

    যেহেতু A+B+C=180∘  ⟹  A+B2=90∘−C2A + B + C = 180^{\circ} \implies \frac{A + B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}
    ∴cos⁡A+B2=cos⁡(90∘−C2)=sin⁡C2\therefore \cos\frac{A + B}{2} = \cos\left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \sin\frac{C}{2}

    সুতরাং,
    =sin⁡C2sin⁡C2cos⁡C2= \frac{\sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}}
    =1cos⁡C2= \frac{1}{\cos\frac{C}{2}}
    =sec⁡C2= \sec\frac{C}{2}
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন