পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি সর্বাধিকবার থাকে বা যার গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি, তাকে প্রচুরক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, মধ্যমা তথ্যসারির সকল মানের ওপর নির্ভর করে না। মধ্যমা হলো ক্রমানুসারে সাজানো তথ্যসারির ঠিক মাঝামাঝি অবস্থানকারী মান। প্রান্তিক বা চরম মানগুলোর মানের হ্রাস-বৃদ্ধি ঘটলেও মধ্যমার অবস্থানের কোনো পরিবর্তন হয় না। অর্থাৎ কেবল মাঝামাঝি অবস্থানটিই মধ্যমা নির্ধারণ করে, বাকি মানগুলোর পরিমাপ বা পরিমাণের ওপর এটি প্রত্যক্ষভাবে নির্ভরশীল নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

   শ্রেণি ব্যবধান | গণসংখ্যা ($f_i$) | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   40-50 | 15 | 15
   50-60 | 20 | 35
   60-70 | 35 | 70
   70-80 | 20 | 90
   80-90 | 10 | 100
   মোট $N = 100$

   এখানে, $\frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50$।
   ৫০ তম পদটি (৬০-৭০) শ্রেণিতে বিদ্যমান। সুতরাং মধ্যমা শ্রেণি হলো ৬০-৭০।

   মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা, $L = 60$
   পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা, $F_c = 35$
   মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা, $f_m = 35$
   শ্রেণি ব্যবধান, $c = 10$

   মধ্যমা ($Me$) = $L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m}\right) \times c$
   $= 60 + \left(\frac{50 - 35}{35}\right) \times 10$
   $= 60 + \left(\frac{15}{35}\right) \times 10$
   $= 60 + 4.29 = 64.29$

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা ৬৪.২৯।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যের প্রকৃতি নির্ণয়ের জন্য গাণিতিক গড় ও প্রচুরক নির্ণয় করতে হবে।

   গড় ($\bar{x}$) নির্ণয়:
   শ্রেণি মধ্যবিন্দু ($x_i$): 45, 55, 65, 75, 85
   $u_i = \frac{x_i - 65}{10}$: -2, -1, 0, 1, 2
   $f_i u_i$: $15(-2) = -30$, $20(-1) = -20$, $35(0) = 0$, $20(1) = 20$, $10(2) = 20$
   $\sum f_i u_i = -30 - 20 + 0 + 20 + 20 = -10$

   গড়, $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{N} \times c = 65 + \left(\frac{-10}{100}\right) \times 10 = 65 - 1 = 64$

   প্রচুরক ($Mo$) নির্ণয়:
   সর্বোচ্চ গণসংখ্যা ৩৫ রয়েছে (৬০-৭০) শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি ৬০-৭০।
   এখানে, $L = 60$, $\Delta_1 = 35 - 20 = 15$, $\Delta_2 = 35 - 20 = 15$, $c = 10$
   প্রচুরক ($Mo$) = $L + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \times c = 60 + \frac{15}{15 + 15} \times 10 = 60 + 5 = 65$

   'গ' হতে পাই, মধ্যমা ($Me$) = ৬৪.২৯।

   পর্যালোচনা:
   এখানে, গড় ($\bar{x}$) = ৬৪, মধ্যমা ($Me$) = ৬৪.২৯, প্রচুরক ($Mo$) = ৬৫।
   দেখা যাচ্ছে যে, $\bar{x} < Me < Mo$ ($64 < 64.29 < 65$)।

   যেহেতু গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক পরস্পর সমান নয় এবং $\bar{x} < Me < Mo$, সেহেতু নিবেশনটি প্রতিসম নয়। এটি একটি ঋণাত্মক বঙ্কিম (Negatively Skewed) নিবেশন।