উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=ax2+bx+c.f(x) = ax^2 + bx + c.g(x)=c2x2−(b2−2ac)x+a2.g(x) = c^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + a^2.

  1. ক)

    6x3−x+13=06x^3 - x + 13 = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α\alpha, β\beta ও γ\gamma হলে ∑(α−β)2\sum(\alpha - \beta)^2 এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    f(x)=0f(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় mm ও nn হলে g(x)=0g(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়কে mm ও nn এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (2)
  3. গ)

    f(x)=0f(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় mm ও nn হলে প্রমাণ কর যে, (am2+c)−2+(an2+c)−2=b2−2acb2c2(am^2 + c)^{-2} + (an^2 + c)^{-2} = \frac{b^2 - 2ac}{b^2c^2}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 6x3+0⋅x2−x+13=06x^3 + 0 \cdot x^2 - x + 13 = 0
    মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে:
    ∑α=α+β+γ=−06=0\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{0}{6} = 0
    ∑αβ=αβ+βγ+γα=−16=−16\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-1}{6} = -\frac{1}{6}

    এখন,
    ∑(α−β)2=(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2\sum (\alpha - \beta)^2 = (\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2
    =2(α2+β2+γ2)−2(αβ+βγ+γα)= 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
    =2[(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)]−2(αβ+βγ+γα)= 2[(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)] - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
    =2(α+β+γ)2−6(αβ+βγ+γα)= 2(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 6(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
    =2(0)2−6(−16)=0+1=1= 2(0)^2 - 6\left(-\frac{1}{6}\right) = 0 + 1 = 1

    অতএব, নির্ণেয় মান 11।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় mm ও nn।
    তাহলে, m+n=−bam + n = -\frac{b}{a} এবং mn=camn = \frac{c}{a}

    এখন, g(x)=c2x2−(b2−2ac)x+a2=0g(x) = c^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + a^2 = 0
    উভয়পক্ষকে a2a^2 দ্বারা ভাগ করে পাই:
    (ca)2x2−(b2−2aca2)x+1=0\left(\frac{c}{a}\right)^2 x^2 - \left(\frac{b^2 - 2ac}{a^2}\right) x + 1 = 0
    ⇒(mn)2x2−[(−ba)2−2(ca)]x+1=0\Rightarrow (mn)^2 x^2 - \left[\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)\right] x + 1 = 0
    ⇒m2n2x2−[(m+n)2−2mn]x+1=0\Rightarrow m^2 n^2 x^2 - [(m+n)^2 - 2mn] x + 1 = 0
    ⇒m2n2x2−(m2+n2)x+1=0\Rightarrow m^2 n^2 x^2 - (m^2 + n^2)x + 1 = 0
    ⇒m2n2x2−m2x−n2x+1=0\Rightarrow m^2 n^2 x^2 - m^2 x - n^2 x + 1 = 0
    ⇒m2x(n2x−1)−1(n2x−1)=0\Rightarrow m^2 x(n^2 x - 1) - 1(n^2 x - 1) = 0
    ⇒(n2x−1)(m2x−1)=0\Rightarrow (n^2 x - 1)(m^2 x - 1) = 0

    সুতরাং,
    x=1m2x = \frac{1}{m^2} অথবা x=1n2x = \frac{1}{n^2}

    অতএব, g(x)=0g(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হলো 1m2\frac{1}{m^2} ও 1n2\frac{1}{n^2}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় mm ও nn।
    অতএব, mm ও nn সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে:
    am2+bm+c=0⇒am2+c=−bmam^2 + bm + c = 0 \Rightarrow am^2 + c = -bm
    an2+bn+c=0⇒an2+c=−bnan^2 + bn + c = 0 \Rightarrow an^2 + c = -bn

    বামপক্ষ:
    (am2+c)−2+(an2+c)−2(am^2 + c)^{-2} + (an^2 + c)^{-2}
    =1(am2+c)2+1(an2+c)2= \frac{1}{(am^2 + c)^2} + \frac{1}{(an^2 + c)^2}
    =1(−bm)2+1(−bn)2= \frac{1}{(-bm)^2} + \frac{1}{(-bn)^2}
    =1b2m2+1b2n2= \frac{1}{b^2 m^2} + \frac{1}{b^2 n^2}
    =1b2(1m2+1n2)= \frac{1}{b^2} \left( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} \right)
    =1b2(m2+n2m2n2)= \frac{1}{b^2} \left( \frac{m^2 + n^2}{m^2 n^2} \right)
    =1b2((m+n)2−2mn(mn)2)= \frac{1}{b^2} \left( \frac{(m+n)^2 - 2mn}{(mn)^2} \right)

    আমরা জানি, m+n=−bam+n = -\frac{b}{a} এবং mn=camn = \frac{c}{a}। মান বসিয়ে পাই:
    =1b2⋅(−ba)2−2(ca)(ca)2= \frac{1}{b^2} \cdot \frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}
    =1b2⋅b2−2aca2c2a2= \frac{1}{b^2} \cdot \frac{\frac{b^2 - 2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}
    =1b2⋅b2−2acc2= \frac{1}{b^2} \cdot \frac{b^2 - 2ac}{c^2}
    =b2−2acb2c2== \frac{b^2 - 2ac}{b^2 c^2} = ডানপক্ষ।

    অতএব, (am2+c)−2+(an2+c)−2=b2−2acb2c2(am^2 + c)^{-2} + (an^2 + c)^{-2} = \frac{b^2 - 2ac}{b^2 c^2} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন