উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

  1. ক)

    tan⁡−1x+tan⁡−1y=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{2} হলে, দেখাও যে, x=1yx = \frac{1}{y}. [যেখানে, x>0,y>0,0<xy<1x > 0, y > 0, 0 < xy < 1]

    (2)
  2. খ)

    যদি f−1(2x)+f−1(2y)=3π2f^{-1}(2x) + f^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2} হলে দেখাও যে, x2+y2=14x^2 + y^2 = \frac{1}{4}

    (4)
  3. গ)

    f(x)+3f(π2−x)=2f(x) + \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{2} হলে সমীকরণটির সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{2}
    যেহেতু xy < 1, তাই:
    \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) = \frac{\pi}{2}
    \Rightarrow \frac{x + y}{1 - xy} = \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \infty = \frac{1}{0}
    \Rightarrow 1 - xy = 0
    \Rightarrow xy = 1
    \Rightarrow x = \frac{1}{y} (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x) = \cos x
    অতএব, f^{-1}(x) = \cos^{-1} x

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f^{-1}(2x) + f^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2}
    \Rightarrow \cos^{-1}(2x) + \cos^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2}
    \Rightarrow \cos^{-1}\left[(2x)(2y) - \sqrt{1 - (2x)^2}\sqrt{1 - (2y)^2}\right] = \frac{3\pi}{2}
    \Rightarrow 4xy - \sqrt{1 - 4x^2}\sqrt{1 - 4y^2} = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0
    \Rightarrow 4xy = \sqrt{1 - 4x^2}\sqrt{1 - 4y^2}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    16x^2y^2 = (1 - 4x^2)(1 - 4y^2)
    \Rightarrow 16x^2y^2 = 1 - 4y^2 - 4x^2 + 16x^2y^2
    \Rightarrow 0 = 1 - 4(x^2 + y^2)
    \Rightarrow 4(x^2 + y^2) = 1
    \Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x) = \cos x
    অতএব, f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f(x) + \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{2}
    \Rightarrow \cos x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2}

    উভয়পক্ষকে \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
    \Rightarrow \cos x \cos\frac{\pi}{3} + \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}
    \Rightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}

    আমরা জানি, \cos\theta = \cos\alpha হলে, \theta = 2n\pi \pm \alpha, , n \in \mathbb{Z}
    \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}
    \Rightarrow x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}, , n \in \mathbb{Z}

    (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
    x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}

    (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
    x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x = 2n\pi + \frac{\pi}{12} অথবা x = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}, যেখানে n \in \mathbb{Z}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন