উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{-\sin x} - 2}{\sin x}$
   $= 2 \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\sin x} - 1}{\sin x}$
   ধরি, $u = -\sin x$
   যখন $x \to 0$, তখন $u \to 0$
   $= 2 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{-u}$
   $= -2 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u}$
   $= -2 \times 1 = -2$
   অতএব, নির্ণেয় মান $-2$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore \frac{f\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)}{f(2x)} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)}{\sin(2x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$

   ধরি, $F(x) = \cot 2x$
   $\therefore F(x + h) = \cot(2x + 2h)$

   মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{dx}[F(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cot(2x + 2h) - \cot 2x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{\cos(2x + 2h)}{\sin(2x + 2h)} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \right]$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2x \cos(2x + 2h) - \cos 2x \sin(2x + 2h)}{h \sin(2x + 2h) \sin 2x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2x - (2x + 2h))}{h \sin(2x + 2h) \sin 2x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(-2h)}{h \sin(2x + 2h) \sin 2x}$
   $= \lim_{h \to 0} \left( -\frac{\sin 2h}{2h} \times 2 \times \frac{1}{\sin(2x + 2h) \sin 2x} \right)$
   $= -1 \times 2 \times \frac{1}{\sin 2x \cdot \sin 2x}$
   $= -2 \csc^2 2x$

   অতএব, নির্ণেয় অন্তরজ $-2 \csc^2 2x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x + 30$

   $x$-এর সাপেক্ষে পরপর দুবার অন্তরীকরণ করে পাই,
   $g'(x) = 12x^2 + 6x - 6$
   $g''(x) = 24x + 6$

   চরম মানের জন্য, $g'(x) = 0$
   $\implies 12x^2 + 6x - 6 = 0$
   $\implies 6(2x^2 + x - 1) = 0$
   $\implies 2x^2 + 2x - x - 1 = 0$
   $\implies 2x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
   $\implies (x + 1)(2x - 1) = 0$
   $\therefore x = -1, \frac{1}{2}$

   যখন $x = -1$:
   $g''(-1) = 24(-1) + 6 = -18 < 0$
   সুতরাং, $x = -1$-এ ফাংশনটির সর্বোচ্চ বা গুরুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ গুরুমান $= g(-1) = 4(-1)^3 + 3(-1)^2 - 6(-1) + 30$
   $= -4 + 3 + 6 + 30 = 35$

   যখন $x = \frac{1}{2}$:
   $g''\left(\frac{1}{2}\right) = 24\left(\frac{1}{2}\right) + 6 = 12 + 6 = 18 > 0$
   সুতরাং, $x = \frac{1}{2}$-এ ফাংশনটির সর্বনিম্ন বা লঘুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘুমান $= g\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{2}\right) + 30$
   $= 4\left(\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{4}\right) - 3 + 30$
   $= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 27 = \frac{2 + 3 + 108}{4} = \frac{113}{4} = 28.25$

   অতএব, চরম মানসমূহ:
   গুরুমান $= 35$ এবং লঘুমান $= \frac{113}{4}$ বা $28.25$।