উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

X=[xyz],A=[2−1−11323−1−5],B=[611] X=\left[\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \ 1 & 3 & 2 \ 3 & -1 & -5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}6 \ 1 \ 1\end{array}\right] এবং C=[pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1] C=\left[\begin{array}{ccc}p & q & r \ p^{2} & q^{2} & r^{2} \ p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\right]

  1. ক)

    বিস্তার না করে ∣y+zx1z+xy1x+yz1∣ \left|\begin{array}{lll}y+z & x & 1 \ z+x & y & 1 \ x+y & z & 1\end{array}\right| নির্ণায়কের মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, ∣C∣=(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p) |\mathbf{C}|=(\mathbf{p q r}-\mathbf{1})(\mathbf{p}-\mathbf{q})(\mathbf{q}-\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{p}) .

    (2)
  3. গ)

    AX =B হলে নির্ণায়কের সাহায্যে X নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি,
    D=∣y+zx1z+xy1x+yz1∣D = \begin{vmatrix} y+z & x & 1 \\ z+x & y & 1 \\ x+y & z & 1 \end{vmatrix}

    প্রথম কলামে C1′=C1+C2C_1' = C_1 + C_2 প্রয়োগ করে পাই,
    D=∣x+y+zx1x+y+zy1x+y+zz1∣D = \begin{vmatrix} x+y+z & x & 1 \\ x+y+z & y & 1 \\ x+y+z & z & 1 \end{vmatrix}

    প্রথম কলাম থেকে (x+y+z)(x+y+z) সাধারণ নিলে পাই,
    D=(x+y+z)∣1x11y11z1∣D = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & y & 1 \\ 1 & z & 1 \end{vmatrix}

    যেহেতু নির্ণায়কের প্রথম কলাম (C1C_1) এবং তৃতীয় কলাম (C3C_3) সর্বসম (identical),
    অতএব নির্ণায়কের মান শূন্য।
    D=(x+y+z)×0=0D = (x+y+z) \times 0 = 0

    নির্ণেয় মান: 00।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত নির্ণায়ক,
    ∣C∣=∣pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1∣|C| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী এটিকে দুটি নির্ণায়কের বিয়োগফল আকারে লেখা যায়:
    ∣C∣=∣pqrp2q2r2p3q3r3∣−∣pqrp2q2r2111∣|C| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়ক থেকে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম হতে যথাক্রমে p,q,rp, q, r সাধারণ নিলে পাই:
    ∣pqrp2q2r2p3q3r3∣=pqr∣111pqrp2q2r2∣\begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারি বিনিময় করে পাই:
    ∣pqrp2q2r2111∣=−∣pqr111p2q2r2∣=∣111pqrp2q2r2∣\begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} p & q & r \\ 1 & 1 & 1 \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    সুতরাং,
    ∣C∣=pqr∣111pqrp2q2r2∣−∣111pqrp2q2r2∣=(pqr−1)∣111pqrp2q2r2∣|C| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = (pqr - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    এখন C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 করে পাই:
    ∣111pqrp2q2r2∣=∣001p−qq−rrp2−q2q2−r2r2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p-q & q-r & r \\ p^2-q^2 & q^2-r^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =(p−q)(q−r)∣00111rp+qq+rr2∣= (p-q)(q-r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ p+q & q+r & r^2 \end{vmatrix}
    প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে:
    =(p−q)(q−r)[1⋅(q+r−(p+q))]=(p−q)(q−r)(r−p)= (p-q)(q-r)[1 \cdot (q+r - (p+q))] = (p-q)(q-r)(r-p)

    অতএব,
    ∣C∣=(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)|C| = (pqr - 1)(p - q)(q - r)(r - p) (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, AX=BAX = B
    বা,
    [2−1−11323−1−5][xyz]=[611]\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

    সমীকরণজোটটি হলো:
    2x−y−z=62x - y - z = 6
    x+3y+2z=1x + 3y + 2z = 1
    3x−y−5z=13x - y - 5z = 1

    ক্র্যামারের নিয়মানুযায়ী,
    D=∣2−1−11323−1−5∣D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{vmatrix}
    =2(−15+2)−(−1)(−5−6)+(−1)(−1−9)= 2(-15 + 2) - (-1)(-5 - 6) + (-1)(-1 - 9)
    =2(−13)+1(−11)−1(−10)= 2(-13) + 1(-11) - 1(-10)
    =−26−11+10=−27= -26 - 11 + 10 = -27

    Dx=∣6−1−11321−1−5∣D_x = \begin{vmatrix} 6 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix}
    =6(−15+2)−(−1)(−5−2)−1(−1−3)= 6(-15 + 2) - (-1)(-5 - 2) - 1(-1 - 3)
    =6(−13)+1(−7)−1(−4)= 6(-13) + 1(-7) - 1(-4)
    =−78−7+4=−81= -78 - 7 + 4 = -81

    Dy=∣26−111231−5∣D_y = \begin{vmatrix} 2 & 6 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix}
    =2(−5−2)−6(−5−6)−1(1−3)= 2(-5 - 2) - 6(-5 - 6) - 1(1 - 3)
    =2(−7)−6(−11)−1(−2)= 2(-7) - 6(-11) - 1(-2)
    =−14+66+2=54= -14 + 66 + 2 = 54

    Dz=∣2−161313−11∣D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}
    =2(3+1)−(−1)(1−3)+6(−1−9)= 2(3 + 1) - (-1)(1 - 3) + 6(-1 - 9)
    =2(4)+1(−2)+6(−10)= 2(4) + 1(-2) + 6(-10)
    =8−2−60=−54= 8 - 2 - 60 = -54

    অতএব,
    x=DxD=−81−27=3x = \frac{D_x}{D} = \frac{-81}{-27} = 3
    y=DyD=54−27=−2y = \frac{D_y}{D} = \frac{54}{-27} = -2
    z=DzD=−54−27=2z = \frac{D_z}{D} = \frac{-54}{-27} = 2

    সুতরাং,
    X=[xyz]=[3−22]X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন