উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    সচরাচর সংকেতমালায় প্রমাণ কর যে, v=u+ftv = u + ft ।

    (2)
  2. খ)

    স্থিরাবস্থা হতে একটি ট্রেন A স্টেশন হতে 4 মিনিটে B স্টেশনে গিয়ে থামে । যদি উহা পথের প্রথম অংশ x সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ y সমমন্দনে চলে তবে প্রমাণ কর যে,1x+1y=4 \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=4 যখন S=2 \mathrm{S}=2

    (4)
  3. গ)

    যদি দুইটি রেলগাড়ি A ও B এর বিপরীত দিক হতে u1 u_{1} ও u2 u_{2} গতিবেগে অগ্রসর হওয়ার সময় একে অপরকে দেখতে পায় তখন তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব x। সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য রেলগাড়ি দুইটি সর্বোচ্চ মন্দন যথাক্রমে a1 a_{1} ও a2 a_{2} প্রয়োগ করে। তাহলে দেখাও যে, কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়ানো সম্তব যদি u12a2+u22a1≤2a1a2x \mathrm{u}{1}{ }^{2} \mathrm{a}{2}+\mathrm{u}{2}{ }^{2} \mathrm{a}{1} \leq 2 \mathrm{a}{1} \mathrm{a}{2} x হয়।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, কোনো কণা uu আদিবেগ নিয়ে ff সমত্বরণে সরলরেখা বরাবর চলছে এবং tt সময় পর তার শেষ বেগ হয় vv।
    ত্বরণের সংজ্ঞানুযায়ী,
    ত্বরণ f=বেগের পরিবর্তনসময়=v−utf = \frac{\text{বেগের পরিবর্তন}}{\text{সময়}} = \frac{v - u}{t}
    বা, v−u=ftv - u = ft
    ∴v=u+ft\therefore v = u + ft (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, ট্রেনটির সর্বোচ্চ বেগ vv এবং এই বেগ অর্জন করতে t1t_1 সময় লাগে। ত্বরণ xx হওয়ায়,
    v=0+xt1  ⟹  t1=vxv = 0 + x t_1 \implies t_1 = \frac{v}{x}

    দ্বিতীয় অংশে ট্রেনটি vv বেগ থেকে yy সমমন্দনে চলে t2t_2 সময়ে B স্টেশনে গিয়ে থেমে যায়। সুতরাং,
    0=v−yt2  ⟹  t2=vy0 = v - y t_2 \implies t_2 = \frac{v}{y}

    মোট সময় t=t1+t2=4t = t_1 + t_2 = 4 মিনিট।
    ∴vx+vy=4  ⟹  v(1x+1y)=4\therefore \frac{v}{x} + \frac{v}{y} = 4 \implies v \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4 ... (১)

    আবার, প্রথম অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব s1=0+v2×t1=vt12s_1 = \frac{0 + v}{2} \times t_1 = \frac{v t_1}{2}
    এবং দ্বিতীয় অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব s2=v+02×t2=vt22s_2 = \frac{v + 0}{2} \times t_2 = \frac{v t_2}{2}

    মোট দূরত্ব S=s1+s2=v2(t1+t2)=v×42=2vS = s_1 + s_2 = \frac{v}{2}(t_1 + t_2) = \frac{v \times 4}{2} = 2v
    দেওয়া আছে, S=2S = 2
    তাহলে, 2v=2  ⟹  v=12v = 2 \implies v = 1

    v=1v = 1 এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
    1×(1x+1y)=41 \times \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4
    ∴1x+1y=4\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, প্রথম রেলগাড়ির আদিবেগ u1u_1 এবং মন্দন a1a_1। এটি থামার পূর্বে s1s_1 দূরত্ব অতিক্রম করে।
    আমরা জানি, v2=u2−2asv^2 = u^2 - 2as
    প্রথম গাড়ির ক্ষেত্রে শেষবেগ 00 হওয়ায়,
    0=u12−2a1s1  ⟹  s1=u122a10 = u_1^2 - 2a_1 s_1 \implies s_1 = \frac{u_1^2}{2a_1}

    অনুরূপভাবে, দ্বিতীয় রেলগাড়ির আদিবেগ u2u_2 এবং মন্দন a2a_2। এটি থামার পূর্বে s2s_2 দূরত্ব অতিক্রম করে।
    তাহলে,
    0=u22−2a2s2  ⟹  s2=u222a20 = u_2^2 - 2a_2 s_2 \implies s_2 = \frac{u_2^2}{2a_2}

    সংঘর্ষ এড়ানোর শর্ত হলো, উভয় ট্রেন থামার পূর্বে তাদের অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব তাদের মধ্যবর্তী প্রাথমিক দূরত্বের সমান বা কম হতে হবে, অর্থাৎ:
    s1+s2≤xs_1 + s_2 \leq x
    বা, u122a1+u222a2≤x\frac{u_1^2}{2a_1} + \frac{u_2^2}{2a_2} \leq x
    বা, u12a2+u22a12a1a2≤x\frac{u_1^2 a_2 + u_2^2 a_1}{2a_1 a_2} \leq x
    বা, u12a2+u22a1≤2a1a2xu_1^2 a_2 + u_2^2 a_1 \leq 2a_1 a_2 x (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন