উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কণিকটির সমীকরণ:
   $x^2 - 4y^2 = 2$

   উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{2} - \frac{4y^2}{2} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2} - \frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 1$

   এটি $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত, যেখানে $a^2 = 2$ এবং $b^2 = \frac{1}{2}$।

   অতএব, অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

   নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $L(-2, 2)$ এবং $L'(-4, 2)$।

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, $4a = \sqrt{[-2 - (-4)]^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 0} = 2$
   $\implies a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

   উপকেন্দ্র $S$, $LL'$ এর মধ্যবিন্দু:
   $S = \left(\frac{-2 + (-4)}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = (-3, 2)$

   $L$ ও $L'$ বিন্দুদ্বয়ের কোটি সমান ($y = 2$), সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর সমীকরণ $y = 2$।
   অতএব, পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা $y$-অক্ষের সমান্তরাল এবং দ্বিকক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল।
   উপকেন্দ্র $S$ হতে দ্বিকক্ষের লম্বদূরত্ব $2a = 2 \times \frac{1}{2} = 1$।

   যেহেতু দ্বিকক্ষটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমান্তরাল, তাই দ্বিকক্ষের সমীকরণ হবে:
   $y = 2 \pm 1$
   $\implies y = 3$ অথবা $y = 1$

   ১ম ক্ষেত্র: দ্বিকক্ষ $y = 1$ বা $y - 1 = 0$ এবং উপকেন্দ্র $S(-3, 2)$ হলে,
   পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ এর জন্য,
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = \frac{(y - 1)^2}{1^2}$
   $\implies x^2 + 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2y + 1$
   $\implies x^2 + 6x - 2y + 12 = 0$

   ২য় ক্ষেত্র: দ্বিকক্ষ $y = 3$ বা $y - 3 = 0$ এবং উপকেন্দ্র $S(-3, 2)$ হলে,
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = \frac{(y - 3)^2}{1^2}$
   $\implies x^2 + 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = y^2 - 6y + 9$
   $\implies x^2 + 6x + 2y + 4 = 0$

   নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + 6x - 2y + 12 = 0$ অথবা $x^2 + 6x + 2y + 4 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রদত্ত কণিকটি হলো:
   $x = by^2 + cy + a$ ... (i)
   এটি একটি পরাবৃত্ত যার অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল।

   যেহেতু পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(h, k) = (1, -2)$, তাই পরাবৃত্তটির সমীকরণ হবে:
   $(y - k)^2 = 4A(x - h)$
   $\implies (y - (-2))^2 = 4A(x - 1)$
   $\implies (y + 2)^2 = 4A(x - 1)$ ... (ii)

   পরাবৃত্তটি $(3, 0)$ বিন্দুগামী, সুতরাং:
   $(0 + 2)^2 = 4A(3 - 1)$
   $\implies 4 = 4A(2)$
   $\implies 8A = 4$
   $\implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$

   $4A = 2$ সমীকরণ (ii)-এ বসিয়ে পাই:
   $(y + 2)^2 = 2(x - 1)$
   $\implies y^2 + 4y + 4 = 2x - 2$
   $\implies 2x = y^2 + 4y + 6$
   $\implies x = \frac{1}{2}y^2 + 2y + 3$ ... (iii)

   এখন, (i) ও (iii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
   $a = 3$, $b = \frac{1}{2}$, $c = 2$

   নির্ণেয় মান: $a = 3$, $b = \frac{1}{2}$, $c = 2$