উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপক-১: cosx=pa,cosy=qb\cos x=\frac{p}{a}, \cos y=\frac{q}{b}
উদ্দীপক-২ : f(θ)=sinθf(\theta)=\sin \theta
- ক)(2)
প্রমাণ কর যে, tan−125=π2−cosec−1295\tan ^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{\sqrt{29}}{5}
- খ)(4)
উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে x+y=α\mathrm{x}+\mathrm{y}=\alpha হলে, প্রমাণ কর যে, b2p2−2abpqcosα+a2q2=a2b2sin2αb^{2} p^{2}-2 a b p q \cos \alpha+a^{2} q^{2}=a^{2} b^{2} \sin ^{2} \alpha.
- গ)(4)
উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে সমাধান কর : f(x)−1−{f(x)}2=1,f(x)-\sqrt{1-{f(x)}^{2}}=1, হলে x=π2,±π,−3π2 \frac{\pi}{2}, \pm \pi,-\frac{3 \pi}{2}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
বামপক্ষ = tan⁻¹(2/5)
আমরা জানি, tan⁻¹ θ + cot⁻¹ θ = π/2 ⇒ tan⁻¹(2/5) = π/2 - cot⁻¹(2/5)
আবার, cot⁻¹(2/5) কে cosec⁻¹ এ রূপান্তর করি:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 2, লম্ব = 5 হলে,
অতিভুজ = √(2² + 5²) = √(4 + 25) = √29
অতএব, cosec θ = অতিভুজ / লম্ব = √29 / 5
বা, θ = cosec⁻¹(√29 / 5)
সুতরাং, cot⁻¹(2/5) = cosec⁻¹(√29 / 5)অতএব,
tan⁻¹(2/5) = π/2 - cosec⁻¹(√29 / 5)
(প্রমাণিত) - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
cos x = p/a এবং cos y = q/b
এবং x + y = αবা, cos(x + y) = cos α
⇒ cos x cos y - sin x sin y = cos α
⇒ (p/a)(q/b) - cos α = sin x sin y
⇒ pq/(ab) - cos α = √(1 - cos²x) √(1 - cos²y)উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
[pq/(ab) - cos α]² = (1 - cos²x)(1 - cos²y)
⇒ p²q²/(a²b²) - 2(pq/ab) cos α + cos²α = [1 - p²/a²][1 - q²/b²]
⇒ p²q²/(a²b²) - 2(pq/ab) cos α + cos²α = 1 - q²/b² - p²/a² + p²q²/(a²b²)উভয়পক্ষ থেকে p²q²/(a²b²) বাদ দিয়ে পাই:
-2(pq/ab) cos α + cos²α = 1 - q²/b² - p²/a²
⇒ p²/a² - 2(pq/ab) cos α + q²/b² = 1 - cos²α
⇒ p²/a² - 2(pq/ab) cos α + q²/b² = sin²αউভয়পক্ষকে a²b² দ্বারা গুণ করে পাই:
b²p² - 2abpq cos α + a²q² = a²b² sin²α
(প্রমাণিত) - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক-২ হতে, f(θ) = sin θ। সুতরাং f(x) = sin x।
প্রদত্ত সমীকরণ:
f(x) - √(1 - {f(x)}²) = 1
⇒ sin x - √(1 - sin²x) = 1
⇒ sin x - cos x = 1
⇒ sin x - 1 = cos xউভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
(sin x - 1)² = cos²x
⇒ sin²x - 2 sin x + 1 = 1 - sin²x
⇒ 2 sin²x - 2 sin x = 0
⇒ 2 sin x (sin x - 1) = 0অতএব, sin x = 0 অথবা sin x = 1
(i) sin x = 0 হলে, x = nπ, যেখানে n ∈ ℤ।
(ii) sin x = 1 হলে, x = 2nπ + π/2, যেখানে n ∈ ℤ।তবে বর্গ করার কারণে সমীকরণটিতে মূল যাচাই করতে হবে:
sin x - cos x = 1- যদি x = π হয়: sin π - cos π = 0 - (-1) = 1 (সিদ্ধ হয়)।
- কিন্তু x = -π হলে: sin(-π) - cos(-π) = 0 - (-1) = 1 (সিদ্ধ হয়)।
- যদি x = π/2 হয়: sin(π/2) - cos(π/2) = 1 - 0 = 1 (সিদ্ধ হয়)।
- যদি x = -3π/2 হয়: sin(-3π/2) - cos(-3π/2) = 1 - 0 = 1 (সিদ্ধ হয়)।
- যদি x = 0 হয়: sin 0 - cos 0 = -1 ≠ 1 (সিদ্ধ হয় না)।
সুতরাং, সাধারণ সমাধান: x = 2nπ + π/2 অথবা x = (2n + 1)π (যেখানে n ∈ ℤ)।
প্রদত্ত ব্যবধি বা নির্দিষ্ট মূল হিসেবে নির্ণেয় সমাধান: x = π/2, ±π, -3π/2।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও