উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, যেখানে $a > b$।
   বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য = $2a$
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = $\frac{2b^2}{a}$

   শর্তমতে, উপকেন্দ্রিক লম্ব = $\frac{1}{3} \times$ বৃহৎ অক্ষ
   $\implies \frac{2b^2}{a} = \frac{1}{3} (2a)$
   $\implies \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$

   আমরা জানি, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
   $\implies e = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

   নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\sqrt{\frac{2}{3}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এ কণিকাটির সমীকরণ:
   $y = ax^2 + bx + c$
   এটি একটি পরাবৃত্ত, যার অক্ষরেখা $y$-অক্ষের সমান্তরাল।
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(4, 5)$ দেওয়া আছে।
   সুতরাং, শীর্ষবিন্দু $(h, k) = (4, 5)$ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - h)^2 = 4A(y - k)$
   $\implies (x - 4)^2 = 4A(y - 5)$ ... (i)

   সমীকরণটিকে বিস্তার করলে পাই:
   $x^2 - 8x + 16 = 4A(y - 5)$
   $\implies 4Ay - 20A = x^2 - 8x + 16$
   $\implies 4Ay = x^2 - 8x + 16 + 20A$
   $\implies y = \frac{1}{4A}x^2 - \frac{2}{A}x + \frac{16+20A}{4A}$ ... (ii)

   (i) নং পরাবৃত্তটি $(8, 7)$ বিন্দুগামী:
   $(8 - 4)^2 = 4A(7 - 5)$
   $\implies 4^2 = 4A(2)$
   $\implies 16 = 8A$
   $\implies A = 2$

   $A = 2$ হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ (ii) থেকে পাই:
   $y = \frac{1}{4(2)}x^2 - \frac{8}{4(2)}x + \frac{16 + 20(2)}{4(2)}$
   $\implies y = \frac{1}{8}x^2 - x + \frac{56}{8}$
   $\implies y = \frac{1}{8}x^2 - x + 7$

   প্রদত্ত সমীকরণ $y = ax^2 + bx + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $a = \frac{1}{8}$
   $b = -1$
   $c = 7$

   নির্ণেয় মান: $a = \frac{1}{8}$, $b = -1$, $c = 7$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে,
   $f(x, y) = 4x^2 - 9y^2 - 8x - 36y - 68 = 0$
   $\implies 4(x^2 - 2x) - 9(y^2 + 4y) - 68 = 0$
   $\implies 4(x^2 - 2x + 1) - 9(y^2 + 4y + 4) - 68 - 4 + 36 = 0$
   $\implies 4(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 - 36 = 0$
   $\implies 4(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে $36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$

   ধরি, $X = x - 1$, $Y = y + 2$, $a^2 = 9 \implies a = 3$, $b^2 = 4 \implies b = 2$
   তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$, যা একটি অধিবৃত্ত।

   অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

   নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $X = \pm \frac{a}{e}$
   $\implies x - 1 = \pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}$
   $\implies x - 1 = \pm \frac{9}{\sqrt{13}}$
   $\implies \sqrt{13}(x - 1) = \pm 9$
   $\implies \sqrt{13}x - \sqrt{13} \mp 9 = 0$

   নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $\sqrt{13}x - \sqrt{13} \pm 9 = 0$।