গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $L$ ও $M$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু $P(x_1, y_1)$।
যেহেতু $L$ রেখা $A(3, 5)$ বিন্দুগামী এবং $M$ রেখা $B(3, 0)$ বিন্দুগামী এবং তারা পরস্পর লম্ব ($L \perp M$), সুতরাং $\angle APB = 90^\circ$।
অতএব, ছেদবিন্দু $P$, $AB$ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত।

উক্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 3)(x - 3) + (y - 5)(y - 0) = 0$
$\Rightarrow (x - 3)^2 + y(y - 5) = 0$ ... (1)

ছেদবিন্দুটি $x - y + 3 = 0 \Rightarrow x = y - 3$ রেখার উপর অবস্থিত।
(1) নং সমীকরণে $x = y - 3$ বসিয়ে পাই:
$(y - 3 - 3)^2 + y(y - 5) = 0$
$\Rightarrow (y - 6)^2 + y^2 - 5y = 0$
$\Rightarrow y^2 - 12y + 36 + y^2 - 5y = 0$
$\Rightarrow 2y^2 - 17y + 36 = 0$
$\Rightarrow 2y^2 - 8y - 9y + 36 = 0$
$\Rightarrow (y - 4)(2y - 9) = 0$
$\therefore y = 4$ অথবা $y = \frac{9}{2}$

• যখন $y = 4$, তখন $x = 4 - 3 = 1$। ছেদবিন্দু $(1, 4)$।
  এক্ষেত্রে $L$ রেখাটি $(3, 5)$ ও $(1, 4)$ বিন্দুগামী:
  $\frac{y - 5}{4 - 5} = \frac{x - 3}{1 - 3} \Rightarrow \frac{y - 5}{-1} = \frac{x - 3}{-2} \Rightarrow 2(y - 5) = x - 3 \Rightarrow x - 2y + 7 = 0$

• যখন $y = \frac{9}{2}$, তখন $x = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$। ছেদবিন্দু $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$।
  এক্ষেত্রে $L$ রেখাটি $(3, 5)$ ও $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$ বিন্দুগামী:
  $\frac{y - 5}{\frac{9}{2} - 5} = \frac{x - 3}{\frac{3}{2} - 3} \Rightarrow \frac{y - 5}{-\frac{1}{2}} = \frac{x - 3}{-\frac{3}{2}} \Rightarrow 3(y - 5) = x - 3 \Rightarrow x - 3y + 12 = 0$

অতএব, $L$ রেখার সমীকরণ $x - 2y + 7 = 0$ অথবা $x - 3y + 12 = 0$।