উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $\sin(kx)$ এর পর্যায় বা মৌলিক পর্যায় হলো $\frac{2\pi}{|k|}$।
   এখানে, প্রদত্ত ফাংশনটি $\sin\left(\frac{x}{3}\right) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right)$।
   অতএব, এর পর্যায়কাল $= \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$।

   উত্তর: $6\pi$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $f(x) = \cot^{-1}y - \tan^{-1}x$
   এবং $f(x) = \frac{\pi}{6}$

   বা, $\cot^{-1}y - \tan^{-1}x = \frac{\pi}{6}$
   আমরা জানি, $\cot^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ (যেখানে $y > 0$)

   বা, $\tan^{-1}\left(\frac{1}{y}\right) - \tan^{-1}x = \frac{\pi}{6}$
   বা, $\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{y} - x}{1 + \frac{1}{y} \cdot x}\right) = \frac{\pi}{6}$
   বা, $\tan^{-1}\left(\frac{1 - xy}{y + x}\right) = \frac{\pi}{6}$
   বা, $\frac{1 - xy}{x + y} = \tan\frac{\pi}{6}$
   বা, $\frac{1 - xy}{x + y} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   বজ্রগুণন করে পাই,
   $\sqrt{3}(1 - xy) = x + y$
   বা, $\sqrt{3} - \sqrt{3}xy = x + y$
   বা, $x + y + \sqrt{3}xy = \sqrt{3}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক (ii) হতে পাই,
   $\cos\theta - \cos 9\theta = \sin 5\theta$
   বা, $2\sin\left(\frac{\theta + 9\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{9\theta - \theta}{2}\right) = \sin 5\theta$
   বা, $2\sin 5\theta \sin 4\theta = \sin 5\theta$
   বা, $2\sin 5\theta \sin 4\theta - \sin 5\theta = 0$
   বা, $\sin 5\theta (2\sin 4\theta - 1) = 0$

   হয়, $\sin 5\theta = 0$
   $\implies 5\theta = n\pi$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$
   $\therefore \theta = \frac{n\pi}{5}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

   অথবা, $2\sin 4\theta - 1 = 0$
   বা, $\sin 4\theta = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
   $\implies 4\theta = m\pi + (-1)^m \frac{\pi}{6}$, যেখানে $m \in \mathbb{Z}$
   $\therefore \theta = \frac{m\pi}{4} + (-1)^m \frac{\pi}{24}$, যেখানে $m \in \mathbb{Z}$

   নির্ণেয় সাধারণ সমাধান:
   $\theta = \frac{n\pi}{5}$ অথবা $\theta = \frac{m\pi}{4} + (-1)^m \frac{\pi}{24}$; যেখানে $n, m \in \mathbb{Z}$।