উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $y = \sqrt{\sin\sqrt{x}} = (\sin\sqrt{x})^{\frac{1}{2}}$

   x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\sin\sqrt{x}}\right)$
   $= \frac{1}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin\sqrt{x})$
   $= \frac{1}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \cos\sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
   $= \frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
   $= \frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin\sqrt{x}}}$

   অতএব, $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin\sqrt{x}}}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $f(x) = (ax)^n = a^n x^n$
   $f(x+h) = a^n(x+h)^n$

   অন্তরজের সংজ্ঞাহতে (লিমিটের সাহায্যে),
   $\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{a^n(x+h)^n - a^n x^n}{h}$
   $= a^n \lim_{h \to 0} \frac{x^n\left(1 + \frac{h}{x}\right)^n - x^n}{h}$
   $= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{\left(1 + \frac{h}{x}\right)^n - 1}{h}$

   দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
   $= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{\left[1 + n\left(\frac{h}{x}\right) + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{h}{x}\right)^2 + \dots\right] - 1}{h}$
   $= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{n\left(\frac{h}{x}\right) + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{h}{x}\right)^2 + \dots}{h}$
   $= a^n x^n \lim_{h \to 0} \left[\frac{n}{x} + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{h}{x^2} + \dots\right]$
   $= a^n x^n \cdot \frac{n}{x}$
   $= n a^n x^{n-1}$

   অতএব, $\frac{d}{dx}f(x) = n a^n x^{n-1}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = 17 - 15x + 9x^2 - x^3$

   x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $g'(x) = \frac{d}{dx}(17 - 15x + 9x^2 - x^3)$
   $= -15 + 18x - 3x^2$
   $= -3(x^2 - 6x + 5)$
   $= -3(x - 1)(x - 5)$

   ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার শর্ত:
   $g'(x) > 0$
   $\Rightarrow -3(x - 1)(x - 5) > 0$
   $\Rightarrow (x - 1)(x - 5) < 0$
   $\Rightarrow 1 < x < 5$
   অর্থাৎ, $(1, 5)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

   ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার শর্ত:
   $g'(x) < 0$
   $\Rightarrow -3(x - 1)(x - 5) < 0$
   $\Rightarrow (x - 1)(x - 5) > 0$
   $\Rightarrow x < 1$ অথবা $x > 5$
   অর্থাৎ, $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

   উত্তর:
   $(1, 5)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ ব্যবধিতে হ্রাস পায়।