উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: ∣z+6∣+∣z−6∣=20|z + 6| + |z - 6| = 20 যেখানে z=x+iyz = x + iy.
দৃশ্যকল্প-২: (1+y)n=b0+b1y+b2y2+b3y3+⋯+bnyn(1 + y)^n = b_0 + b_1y + b_2y^2 + b_3y^3 + \dots + b_ny^n

  1. ক)

    6−23i6 - 2\sqrt{3}i জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা নির্দেশিত সমীকরণটির সঞ্চার পথ এবং উহার নাম উল্লেখ করে চিত্র অঙ্কন কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ হতে দেখাও যে, (b0−b2+b4−… )2=(b0+b1+b2+b3+… )−(b1−b3+b5−… )2(b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 = (b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \dots) - (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, z=6−23iz = 6 - 2\sqrt{3}i

    মডুলাস, ∣z∣=62+(−23)2=36+12=48=43|z| = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}

    যেহেতু জটিল সংখ্যাটি ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
    অতএব, মুখ্য আর্গুমেন্ট, θ=−tan⁡−1∣−236∣=−tan⁡−1(33)=−tan⁡−1(13)=−π6\theta = -\tan^{-1}\left|\frac{-2\sqrt{3}}{6}\right| = -\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} (বা −30∘-30^\circ)

    উত্তর: মডুলাস 434\sqrt{3} এবং আর্গুমেন্ট −π6-\frac{\pi}{6}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ∣z+6∣+∣z−6∣=20|z+6| + |z-6| = 20, যেখানে z=x+iyz = x + iy
    ⇒∣(x+6)+iy∣+∣(x−6)+iy∣=20\Rightarrow |(x+6) + iy| + |(x-6) + iy| = 20
    ⇒(x+6)2+y2=20−(x−6)2+y2\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2 + y^2} = 20 - \sqrt{(x-6)^2 + y^2}
    উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
    (x+6)2+y2=400−40(x−6)2+y2+(x−6)2+y2(x+6)^2 + y^2 = 400 - 40\sqrt{(x-6)^2 + y^2} + (x-6)^2 + y^2
    ⇒x2+12x+36+y2=400−40(x−6)2+y2+x2−12x+36+y2\Rightarrow x^2 + 12x + 36 + y^2 = 400 - 40\sqrt{(x-6)^2 + y^2} + x^2 - 12x + 36 + y^2
    ⇒24x−400=−40(x−6)2+y2\Rightarrow 24x - 400 = -40\sqrt{(x-6)^2 + y^2}
    ⇒400−24x=40(x−6)2+y2\Rightarrow 400 - 24x = 40\sqrt{(x-6)^2 + y^2}
    ৮ দ্বারা ভাগ করে পাই,
    50−3x=5(x−6)2+y250 - 3x = 5\sqrt{(x-6)^2 + y^2}
    পুনরায় বর্গ করে পাই,
    (50−3x)2=25[(x−6)2+y2](50 - 3x)^2 = 25[(x-6)^2 + y^2]
    ⇒2500−300x+9x2=25(x2−12x+36+y2)\Rightarrow 2500 - 300x + 9x^2 = 25(x^2 - 12x + 36 + y^2)
    ⇒2500−300x+9x2=25x2−300x+900+25y2\Rightarrow 2500 - 300x + 9x^2 = 25x^2 - 300x + 900 + 25y^2
    ⇒16x2+25y2=1600\Rightarrow 16x^2 + 25y^2 = 1600
    ⇒x2100+y264=1\Rightarrow \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1 বা x2102+y282=1\frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1

    সঞ্চারপথের নাম: এটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse)।

    চিত্রের বিবরণ: কার্তেসীয় তলে মূলবিন্দু (0,0)(0, 0) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যার বৃহদাক্ষ xx-অক্ষ বরাবর (দৈর্ঘ্য 2a=202a = 20, শীর্ষবিন্দুদ্বয় (±10,0)(\pm 10, 0)) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ yy-অক্ষ বরাবর (দৈর্ঘ্য 2b=162b = 16, প্রান্তবিন্দুদ্বয় (0,±8)(0, \pm 8))। উপকেন্দ্রদ্বয় হবে (±6,0)(\pm 6, 0)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে,
    (1+y)n=b0+b1y+b2y2+b3y3+b4y4+⋯+bnyn(1 + y)^n = b_0 + b_1 y + b_2 y^2 + b_3 y^3 + b_4 y^4 + \dots + b_n y^n ..... (i)

    (i) নং সমীকরণে y=1y = 1 বসিয়ে পাই,
    (1+1)n=b0+b1+b2+b3+…(1 + 1)^n = b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \dots
    ⇒2n=b0+b1+b2+b3+…\Rightarrow 2^n = b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \dots ..... (ii)

    আবার, (i) নং সমীকরণে y=iy = i বসিয়ে পাই,
    (1+i)n=b0+b1(i)+b2(i2)+b3(i3)+b4(i4)+…(1 + i)^n = b_0 + b_1(i) + b_2(i^2) + b_3(i^3) + b_4(i^4) + \dots
    ⇒(1+i)n=b0+ib1−b2−ib3+b4+…\Rightarrow (1 + i)^n = b_0 + i b_1 - b_2 - i b_3 + b_4 + \dots
    ⇒(1+i)n=(b0−b2+b4−… )+i(b1−b3+b5−… )\Rightarrow (1 + i)^n = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots) + i(b_1 - b_3 + b_5 - \dots)

    উভয়পক্ষের পরমমানের বর্গ (বা অনুবন্ধী দ্বারা গুণ) নিয়ে পাই,
    ∣(1+i)n∣2=∣(b0−b2+b4−… )+i(b1−b3+b5−… )∣2|(1 + i)^n|^2 = |(b_0 - b_2 + b_4 - \dots) + i(b_1 - b_3 + b_5 - \dots)|^2
    ⇒(∣1+i∣2)n=(b0−b2+b4−… )2+(b1−b3+b5−… )2\Rightarrow (|1 + i|^2)^n = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 + (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2
    ⇒(12+12)n=(b0−b2+b4−… )2+(b1−b3+b5−… )2\Rightarrow (1^2 + 1^2)^n = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 + (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2
    ⇒2n=(b0−b2+b4−… )2+(b1−b3+b5−… )2\Rightarrow 2^n = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 + (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2

    (ii) নং হতে 2n2^n এর মান বসিয়ে পাই,
    b0+b1+b2+b3+⋯=(b0−b2+b4−… )2+(b1−b3+b5−… )2b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \dots = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 + (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2
    ∴(b0−b2+b4−… )2=(b0+b1+b2+b3+… )−(b1−b3+b5−… )2\therefore (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 = (b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \dots) - (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2 (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন