উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

△ABC \triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

  1. ক)

    A+B=105∘ A+B=105^{\circ} হলে sin⁡C \sin C নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    ∆ABC এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C) a^{2}+b^{2}+c^{2}=8 R^{2}(1+\cos A \cos B \cos C) .

    (2)
  3. গ)

    APQS এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−1PS+QS \frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}-\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q \angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, ত্রিভুজ ABC-এ,
    A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ
      ⟹  C=180∘−(A+B)\implies C = 180^\circ - (A + B)
      ⟹  C=180∘−105∘=75∘\implies C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ

    অতএব,
    sin⁡C=sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)\sin C = \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)
    =sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
    =(12)(32)+(12)(12)= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{2}\right)
    =3+122= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

    নির্ণেয় মান: 3+122\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রমাণ:
    আমরা জানি, △ABC\triangle ABC-এর ক্ষেত্রে সাইন সূত্রানুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
      ⟹  a=2Rsin⁡A,b=2Rsin⁡B,c=2Rsin⁡C\implies a = 2R\sin A, \quad b = 2R\sin B, \quad c = 2R\sin C

    বামপক্ষ =a2+b2+c2= a^2 + b^2 + c^2
    =4R2sin⁡2A+4R2sin⁡2B+4R2sin⁡2C= 4R^2\sin^2 A + 4R^2\sin^2 B + 4R^2\sin^2 C
    =2R2(2sin⁡2A+2sin⁡2B+2sin⁡2C)= 2R^2 (2\sin^2 A + 2\sin^2 B + 2\sin^2 C)
    =2R2{(1−cos⁡2A)+(1−cos⁡2B)+2sin⁡2C}= 2R^2 \{ (1 - \cos 2A) + (1 - \cos 2B) + 2\sin^2 C \}
    =2R2{2−(cos⁡2A+cos⁡2B)+2sin⁡2C}= 2R^2 \{ 2 - (\cos 2A + \cos 2B) + 2\sin^2 C \}
    =2R2{2−2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)+2sin⁡2C}= 2R^2 \{ 2 - 2\cos(A+B)\cos(A-B) + 2\sin^2 C \}

    যেহেতু A+B+C=π  ⟹  A+B=π−CA + B + C = \pi \implies A + B = \pi - C, তাই cos⁡(A+B)=−cos⁡C\cos(A+B) = -\cos C।
    =2R2{2+2cos⁡Ccos⁡(A−B)+2(1−cos⁡2C)}= 2R^2 \{ 2 + 2\cos C\cos(A-B) + 2(1 - \cos^2 C) \}
    =2R2{2+2+2cos⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡C]}= 2R^2 \{ 2 + 2 + 2\cos C [\cos(A-B) - \cos C] \}
    =2R2{4+2cos⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]}= 2R^2 \{ 4 + 2\cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] \}
    =2R2{4+2cos⁡C⋅2cos⁡Acos⁡B}= 2R^2 \{ 4 + 2\cos C \cdot 2\cos A\cos B \}
    =2R2{4+4cos⁡Acos⁡Bcos⁡C}= 2R^2 \{ 4 + 4\cos A\cos B\cos C \}
    =8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)= 8R^2 (1 + \cos A\cos B\cos C)
    = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    △PQS\triangle PQS-এর ক্ষেত্রে,
    1PQ+PS=3PS+PQ+QS−1PS+QS\frac{1}{PQ+PS} = \frac{3}{PS+PQ+QS} - \frac{1}{PS+QS}

    সুবিধার জন্য ধরি, △PQS\triangle PQS-এর বাহুগুলো:
    QS=pQS = p, PS=qPS = q, PQ=sPQ = s

    তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:
    1s+q+1q+p=3p+q+s\frac{1}{s + q} + \frac{1}{q + p} = \frac{3}{p + q + s}
      ⟹  (q+p)+(s+q)(s+q)(p+q)=3p+q+s\implies \frac{(q + p) + (s + q)}{(s + q)(p + q)} = \frac{3}{p + q + s}
      ⟹  p+2q+s(s+q)(p+q)=3p+q+s\implies \frac{p + 2q + s}{(s + q)(p + q)} = \frac{3}{p + q + s}
      ⟹  (p+s+2q)(p+s+q)=3(s+q)(p+q)\implies (p + s + 2q)(p + s + q) = 3(s + q)(p + q)
      ⟹  (p+s)2+3q(p+s)+2q2=3(sp+sq+qp+q2)\implies (p + s)^2 + 3q(p + s) + 2q^2 = 3(sp + sq + qp + q^2)
      ⟹  p2+2ps+s2+3pq+3qs+2q2=3ps+3sq+3pq+3q2\implies p^2 + 2ps + s^2 + 3pq + 3qs + 2q^2 = 3ps + 3sq + 3pq + 3q^2
      ⟹  p2+s2+2ps=3ps+q2\implies p^2 + s^2 + 2ps = 3ps + q^2
      ⟹  p2+s2−ps=q2\implies p^2 + s^2 - ps = q^2
      ⟹  p2+s2−q2=ps\implies p^2 + s^2 - q^2 = ps

    উভয়পক্ষকে 2ps2ps দ্বারা ভাগ করে পাই,
    p2+s2−q22ps=ps2ps=12\frac{p^2 + s^2 - q^2}{2ps} = \frac{ps}{2ps} = \frac{1}{2}

    আমরা জানি, কোসাইন সূত্রানুসারে,
    cos⁡Q=p2+s2−q22ps\cos Q = \frac{p^2 + s^2 - q^2}{2ps}

    সুতরাং,
    cos⁡Q=12\cos Q = \frac{1}{2}
      ⟹  cos⁡Q=cos⁡60∘\implies \cos Q = \cos 60^\circ
      ⟹  ∠Q=60∘\implies \angle Q = 60^\circ

    অতএব, ∠Q=60∘\angle Q = 60^\circ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন