গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, বৃত্তাংশ আকৃতির বাগানের ব্যাসার্ধ $r$ এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $s$।

বাগানের বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য (পরিসীমা):
$P = 2r + s = 40$
$\implies s = 40 - 2r$

বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল,
$A = \frac{1}{2} r s$
$\implies A = \frac{1}{2} r (40 - 2r) = 20r - r^2$

ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হওয়ার জন্য,
$\frac{dA}{dr} = 0$
$\implies \frac{d}{dr}(20r - r^2) = 0$
$\implies 20 - 2r = 0$
$\implies r = 10\text{ m}$

আবার,
$\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$, যা নিশ্চিত করে যে $r = 10\text{ m}$ এ ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হবে।

অতএব, বাগানের সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল:
$A_{\text{max}} = 20(10) - (10)^2 = 200 - 100 = 100\text{ m}^2$ (Ans.)