উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বহিবিভক্তকারী বিন্দুটির স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
   আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে $m_1 : m_2$ অনুপাতে বহিবিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x = \frac{m_1x_2 - m_2x_1}{m_1 - m_2}$
   $y = \frac{m_1y_2 - m_2y_1}{m_1 - m_2}$

   এখানে, $(x_1, y_1) = (-2, 3)$, $(x_2, y_2) = (1, 2)$ এবং $m_1 : m_2 = 3 : 2$

   সুতরাং,
   $x = \frac{3(1) - 2(-2)}{3 - 2} = \frac{3 + 4}{1} = 7$
   $y = \frac{3(2) - 2(3)}{3 - 2} = \frac{6 - 6}{1} = 0$

   অতএব, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(7, 0)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $AB$ রেখাটি $X$-অক্ষকে $A$ এবং $Y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ধরি, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a, 0)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, b)$।
   তাহলে, $OA = a$ এবং $OB = b$।

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $OA - OB = 3$
   $\Rightarrow a - b = 3 \Rightarrow a = b + 3$

   $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x}{b + 3} + \frac{y}{b} = 1 \quad \text{--- (i)}$

   যেহেতু রেখাটি $C(10, -2)$ বিন্দুগামী, সুতরাং:
   $\frac{10}{b + 3} + \frac{-2}{b} = 1$
   $\Rightarrow \frac{10b - 2(b + 3)}{b(b + 3)} = 1$
   $\Rightarrow \frac{10b - 2b - 6}{b^2 + 3b} = 1$
   $\Rightarrow 8b - 6 = b^2 + 3b$
   $\Rightarrow b^2 - 5b + 6 = 0$
   $\Rightarrow (b - 2)(b - 3) = 0$
   $\therefore b = 2 \text{ অথবা } b = 3$

   যদি $b = 2$ হয়, তবে $a = 2 + 3 = 5$
   সমীকরণটি হবে: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x + 5y - 10 = 0$

   যদি $b = 3$ হয়, তবে $a = 3 + 3 = 6$
   সমীকরণটি হবে: $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow x + 2y - 6 = 0$

   অতএব, $AB$ সরলরেখার সমীকরণ $2x + 5y - 10 = 0$ অথবা $x + 2y - 6 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $C(10, -2)$ এবং $D(2, 0)$।
   $CD$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{-2 - 0}{10 - 2} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

   ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল $m$।
   যেহেতু নির্ণেয় রেখাটি $CD$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, সুতরাং:
   $\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m m_1}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{1}{4}\right)}{1 + m\left(-\frac{1}{4}\right)}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m + \frac{1}{4}}{1 - \frac{m}{4}} = \pm \frac{4m + 1}{4 - m}$

   ধনাfunds(+) চিহ্ন নিয়ে:
   $1 = \frac{4m + 1}{4 - m}$
   $\Rightarrow 4 - m = 4m + 1$
   $\Rightarrow 5m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{5}$

   ঋণাত্মক(-) চিহ্ন নিয়ে:
   $1 = -\frac{4m + 1}{4 - m}$
   $\Rightarrow 4 - m = -(4m + 1) = -4m - 1$
   $\Rightarrow 3m = -5 \Rightarrow m = -\frac{5}{3}$

   নির্ণেয় রেখাটি $(4, 1)$ বিন্দুগামী।
   অতএব, রেখাটির সমীকরণ: $y - 1 = m(x - 4)$

   যখন $m = \frac{3}{5}$:
   $y - 1 = \frac{3}{5}(x - 4)$
   $\Rightarrow 5y - 5 = 3x - 12$
   $\Rightarrow 3x - 5y - 7 = 0$

   যখন $m = -\frac{5}{3}$:
   $y - 1 = -\frac{5}{3}(x - 4)$
   $\Rightarrow 3y - 3 = -5x + 20$
   $\Rightarrow 5x + 3y - 23 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ $3x - 5y - 7 = 0$ অথবা $5x + 3y - 23 = 0$।